高数证明问题

证明:构造函数g(x)=(1/2)kx？+f'(0)x+f(0)，很容易验证g(0)=f(0)。

∫g '(x)= kx+f '(0)

∴g'(0)=f'(0),g''(x)=k

[f '(x)-g '(x)]' = f ' '(x)-g ' '(x)= f ' '(x)-k≥0

∴f'(x)-g'(x)在[0，∞]处单调增加，

∫f '(0)-g '(0)= 0

∴f'(x)-g'(x)≥0

∫[f(x)-g(x)]' = f '(x)-g '(x)≥0

∴f(x)-g(x)在[0，∞]处单调增加。

∫f(0)-g(0)= 0

∴f(x)-g(x)≥0，即f(x)≥g(x)=(1/2)kx？+f'(0)x+f(0)，

∫k > 0

当x→+∞，lim g(x)=+∞时的∴

F(x)在[0，∞]上有二阶连续导数，

所以f(x)在[0，∞)上是连续的。

且f (0) < 0，f (+∞) > 0。

根据连续函数的介值定理，f(x)必有零点在(0，∞)。

零点的唯一性证明如下。

∫f ' '(x)= k > 0对x≥0成立。

∴f'(x)是在[0，∞]上严格单调递增的连续函数。

∴f'(x)在[0，∞)上最多有一个零。

如果f'(x)没有零，因为f (0) < 0，f (+∞) > 0。

所以f(x)是在[0，∞]上严格单调递增的连续函数，零点当然是唯一的；

如果f'(x)有零点，同理，因为f (0) < 0，f(+∞)> 0；

所以此时f(x)最多只有两个单调区间(0，a)和(a，+∞)，f(x)在(0，a)单调递减，在(a，+∞)单调递增，所以f(x)一定在(a，+∞)。