高等数学第十题(2010考研)让fx从0到1连续...()

F(x)在[0，1]上连续且在(0，1)内可导，f(0)=0，f(1)=1/3。

那么，g (x) = f (x)-x 3/3在[0，1]上连续，且在(0，1)内可导。g(0)=g(1)=0。

g'(x) = f'(x) - x^2.

将拉格朗日中值定理分别应用于[0，1/2]和[1/2，1]，有a，b，0

[g(1/2)-g(0)]/(1/2)= g '(a)，

[g(1)-g(1/2)]/(1/2)= g '(b)。

成立。

g '(a)+g '(b)= f '(a)+f '(b)-a^2-b^2 =[g(1)-g(0)]/(1/2)= 0，

f'(a) + f'(b) = a^2 + b^2.

命题被证明。