二重积分如何计算摆线的质心？

∫∫D xdxdy=重心横坐标面积× d，∫∫D ydxdy=重心纵坐标面积×D。

当f(x，y)在D区域可积时，其积分值与划分bai的方法无关，所以可以选择两组平行于坐标zhi轴的直线来划分D，此时每个小区域的面积为δσ=δxδy，由此可见二重积分的值是由被积函数和积分区域* *决定的。将上述二重积分转化为二次定积分的计算称为:将二重积分转化为二次积分或重复积分。

设单位面积质量为1，

这个均匀圆弧的质量是(α/(2π)) * π a 2 = (1/2) α a 2。

很明显，质心应该在樊志形的对称轴上，它与圆心的距离为x。

那么:((1/2)αa2)x =∫∫(A * cosα)* DA * ADα=∫∫(cosα)A 2 dadα。

(a从0到a，α从-α/2到α/2)

((1/2)αa^2)x=∫∫(cosα)a^2dadα=∫(cosα)dα∫a^2da =2sin(α/2)*(1/3)a^3

=(2/3)sin(α/2)a^3

X=(4a/3)sin(α/2)

扩展数据:

计算极坐标下的二重积分，需要将被积函数f(x，y)，积分面积d，面积元dσ表示在极坐标下。函数f(x，y)的极坐标形式为f(rcosθ，rsinθ)。为了得到极坐标下面积元dσ的变换，用坐标曲线网划分D，即以r=a，即O为圆心的圆和以θ=b，O为起点的射线无限划分D，设δ σ为R到r+dr，θ到θ+dθ的小面积。

这个函数的具体表达式是:f(x，y)=xy+1/8，方程的右边是二重积分值A，方程的最左边部分可以根据性质5变成常数A乘以积分面积1/3的面积，含有二重积分的方程可以变成未知数A来求解。

百度百科-二重积分