中值定理或命题证明中辅助函数构造的几点想法

人大版现行教材《微积分》在证明拉格朗日中值定理时，先构造一个辅助函数，然后验证辅助函数满足罗尔定理的假设，最后利用罗尔定理的结论证明拉格朗日定理。我觉得关键是要搞清楚如何构造这个辅助函数。一旦构造了辅助函数，剩下的就是一些验证演算了。下面主要介绍构造辅助函数证明拉格朗日中值定理的几种思路:在教材“中值定理”一章中，我们知道罗尔定理中的图形可以通过旋转点a得到，反过来，我们可以将拉格朗日定理中的图形旋转一个角度，使旋转后的弦AB平行于横轴(即X轴)，就成了满足罗尔定理条件的图形。如果将图形旋转一个角度，直接用坐标旋转公式求解新坐标系下的曲线方程是相当困难的。现在我们试着在原函数上加一个线性函数。设新函数为:ψ (x) = f (x)+MX+N，显然满足罗尔定理的前两个条件。现在我们根据第三个条件ψ(a)=ψ(b)选择M和N，比如设ψ(a)。。。