数学考研高等代数题目
二、主要审查内容:
1.决定因素
行列式的定义、性质和常用计算方法(如三角剖分法、边加法、降阶法、递归法、分裂项法、范德蒙行列式法、数学归纳法、辅助行列式法)。
重点:n阶行列式的计算。
2.矩阵理论
矩阵运算、分块矩阵的初等变换与矩阵的秩、可逆矩阵与伴随矩阵、矩阵的三种等价关系(等价、收缩、相似)、矩阵的特征值与特征向量、矩阵的迹、矩阵的最小多项式、矩阵的对角化、矩阵的常见分解(如等价分解、满秩分解、实对称矩阵的正交相似分解、实可逆矩阵的正交三角分解、Jordan分解)。
重点:利用分块矩阵的初等变换证明矩阵秩的等式和不等式，矩阵逆矩阵和伴随矩阵的性质和解法，矩阵的三个等价关系的关系，矩阵对角化的判断和证明(特别是多个矩阵同时对角化)，矩阵分解的证明和应用(特别是实对称矩阵的正交相似分解，Jordan标准型的计算和相关证明)。
3.线性方程
克莱姆法则，齐次线性方程组有非零解的充要条件，基本解系的解及相关证明，非齐次线性方程组的解及解的结构。
重点:非齐次线性方程组解的结构及其导群基本解系的证明。特殊方程的解。
4.多项式理论
多项式的整除性，最大公因式和最小公倍数，多项式的互质，不可约多项式和因式分解，多项式函数和多项式的根。
重点:利用多项式理论证明相关问题，如互质和不可约多项式性质的证明及应用；重要定理的证明，如因式分解的唯一性定理、艾森斯坦判别法、高斯引理、不可约多项式的证明。
5.二次理论
二次线性空间与对称矩阵空间同构，二次型化为标准型和标准型，西尔维斯特惯性定律，正定、半正定、负定、半负定、不定二次型的定义和性质，正定矩阵的一些重要结论及其应用。
重点:正定和半正定矩阵的证明，N级方阵按契约关系的分类，实对称矩阵的证明。
6.线性空间和欧几里得空间
线性空间的定义、向量组的线性关系(线性相关与线性无关、向量组的等价、最大线性无关组的求解、代换定理)、基与延拓基定理、维数公式、坐标变换、基变换与坐标变换、生成子空间、子空间的交与和(包括直和)、内积与欧氏空间的定义及简单性质、子空间的正交补、度量矩阵的求解、标准正交基。
重点:向量组线性相关和线性无关的综合证明，判断一个向量是否用一组向量表示以及如何表示，寻找向量组的最大独立组并用其表示其他向量，维数公式的证明和应用，特别是子空间直和的证明，标准正交基的求解及其性质的证明。
7.线性转换
线性变换的定义、运算与矩阵，线性变换的核与值域，不变子空间，线性变换的特征根与向量，特征子空间，线性变换的对角化，正交变换，对称变换与反对称变换，线性变换与其矩阵对应关系的应用，及其特征值与特征向量。
重点:线性变换与其矩阵对应关系的应用，线性变换的对角化，线性变换的核心和范围。
正交变换、对称变换和反对称变换的证明。最小多项式与对角化的关系。