高次微分方程考研

解法:一般的解法是y = e x *(c 1 cosx+C2 sinx)+e x+x+1。

Y''-2y'+2y = e x+2x是二阶常系数非齐次线性微分方程。

①其对应的齐次方程为y''-2y'+2y = 0，特征方程r？-2r+2=0，r = 1 I (* * *轭复数根)

通解y0 = e x * (c1cosx+c2sinx)

② y''-2y'+2y = e x，设其特解为y1 = AE x。

然后y 1 ' ' = y 1 ' = y 1 = AE x，代入方程得到:AE x = E X。

∴ a = 1，特解为y1 = e x

③ y'-2y'+2y = 2x，设其特解为y2 = bx+c。

那么当代入等式时，y2’= b，y2”= 0，并且-2b+2bx+2c = 2x。

∴b=1，c = 1，特解为y2=x+1。

y''-2y'+2y = e x+2x的通解为y = y0+y1+y2，

即y = e x *(c 1 cosx+C2 sinx)+e x+x+1。