有什么关于黎曼流形的好书吗？
差速器歧管1。流形的基本概念:流形、子流形、切空间和切丛、光滑函数、光滑映射和切映射的定义和基本例子。要求球面、环面、射影空间等基本例子，要求一维和二维流形的分类。需要理解浸入、嵌入、浸没和微分同胚的概念。正则性、奇异性及其应用:正则点和正则值、临界点和临界值、Sard定理、Morse引理、Thom横截定理。要求理解映射度的概念，利用正则值的概念验证某些空间是流形。3.光滑向量场与可积性定理:光滑向量场的定义及其奇异性，李括号，积分曲线与动力系统，欧拉-庞加莱公式，Frobenius可积性定理。4.李群和李群作用的初步研究:李群和李代数的定义和基本例子，单参数子群，指数映射，李群在流形上的作用，基本向量场，齐次空间等。要求验证一些常见的矩阵群是李群并计算其李代数，熟悉一些低维李群的流形结构。要求一些常见的流形可以写成齐次流形。5.微分形式和积分:微分形式和外积的定义和性质，外微分，内积，李导数，卡坦公式，德勒姆上同调，庞加莱对偶，拉普拉斯算子，霍奇理论，积分的方向和微分形式，边界流形和斯托克斯定理。要求掌握单位分解的技巧，了解外微分和斯托克斯定理的经典形式。要求能够计算普通流形和二维流形的同调环。6.黎曼几何的初步研究:黎曼度量、李维-契维塔联络、克里斯托费尔符号、黎曼曲率、截面曲率和常截面曲率流形的模。要求能够从给定的黎曼度量计算黎曼曲率。要求熟悉向量丛和张量运算的概念。爱因斯坦的黎曼流形广义相对论告诉我们，引力并不是真正的力，而是反映空间扭曲的几何现象。对于一个研究者来说，身处这个空间，他无法直接感受到空间的扭曲。但是他可以通过测量自己的空间来判断是否存在空间扭曲，而测量的标准就是所谓的度量。度量是一种内在属性。有度量的空间叫做黎曼空间。具体定义如下:黎曼流形是具有黎曼度量的微分流形，换句话说，在这个流形上存在一个对称正定的共变二阶张量场，即在每个点上存在一个二阶正定矩阵。在给出度量之后，我们可以像在数学分析中那样建立微积分理论。欧几里得空间有一个自然度量DS ^ 2 =(DX _ 1)2+...+(DX _ N) 2。它的矩阵是单位矩阵。欧几里得空间中的子流形自然地诱导出一个度量。在曲线曲面微分几何中，我们把曲线曲面看作三维空间中的子流形，所以自然赋予它们度量结构。黎曼度量给定后，我们可以唯一确定一个对称(即非柔性)连接，而且是保持黎曼内积。这种接触称为黎曼接触。利用这种联系，我们可以定义向量场的协变微分和协变导数，从而建立流形上的微分学。在欧氏空间中，联系是0，所以这就是通常意义上的向量函数的微分。黎曼度量还归纳出黎曼曲率的概念，黎曼曲率反映了流形的弯曲程度，是一个内禀性质，也就是说这个性质与流形所在的大空间无关。常曲率消失的流形称为平坦黎曼流形。欧氏空间是最常见的平坦流形。大数学家高斯首先研究了曲面上的曲率——高斯曲率，发现这个曲率是内禀的，虽然它的定义不是。这是一个非常了不起的发现。