向量组等价的例子_矩阵等价与向量组等价的关系

矩阵是指排列成n行m列的数字表格。矩阵是线性代数中重要而有力的工具，应用于线性代数的开头和结尾，关系到线性代数的每一章。

向量是一个数组。如果一个向量只有一个分量，它就是通常意义上的数；如果一个向量有两个或三个分量，在解析几何中，它代表一个平面或空间的有向线段。几何上，它与线性代数中向量的运算有相同或对应的规则。向量可以是特殊的矩阵，也可以是矩阵的一部分。由n个M维列向量组成的向量组可以做成m×n矩阵。

因此，矩阵和向量组之间有着千丝万缕的联系。比如矩阵与其行向量组和列向量组的秩相同，方阵可逆的充要条件是其行(列)向量组线性无关。但是矩阵的等价和向量组的等价之间没有必然的联系！

矩阵等价的定义:如果矩阵A可以通过有限的初等变换变换成矩阵B，则称矩阵A等价于矩阵B..矩阵等价的两个充要条件:存在可逆矩阵p和q，使得paq = b；A和B是同一类型，r(A)=r(B)。

向量组等价是指两个向量组可以彼此线性表示。

矩阵等价和向量组等价有以下关系:

1.两个矩阵等价，它们的行向量组和列向量组不一定等价！(《2012考研数学复习》理工类338页有讲解和具体反例)

2.两个向量组等价，做出来的矩阵不一定等价！(向量组是等价的，两个向量组包含的向量个数可以不同，但矩阵是等价的，两个矩阵必须有相同的行数和列数。)

什么时候一个矩阵等价于它的行向量组或者列向量组等价？

1.如果矩阵A通过初等列变换变换为矩阵B，则存在一个可逆矩阵Q，使得AQ=B，或者可以写成(α1，α2，…，αn)Q=(β1，β2，…，βn)。

这时我们知道，B的列向量组可以用A的列向量组线性表示，因为Q是初等矩阵的乘积，所以是可逆的。对于AQ=B的两边，乘以Q -1得到A=BQ -1，所以A的列向量组可以用B的列向量组线性表示，此时可以得出A的列向量组与B的列向量组等价

2.类似地，如果矩阵A通过初等行变换变换成矩阵B，则A的行向量组等价于B的行向量组..

3.矩阵经过初等行变换后，其列向量组不一定等价！矩阵经过初等列变换后，其行向量组不一定等价！(见《2012考研数学复习》，理工科312页注)

向量组在什么情况下是等价的，它们对应的矩阵是等价的？

1.如果向量组A和向量组B都有n列(行)向量，并且这两个向量组等价，那么这两个向量组构成的矩阵A和B等价！(因为向量组A和向量组B是等价的，秩相同，A和B做的矩阵A和B行列相同，秩相等，所以矩阵A和B是等价的。)

2.要求两个向量组具有相同的向量个数，因为矩阵等价的第一个条件是两个矩阵具有相同的行数和列数，所以只有对于两个M维向量组A和B具有n个向量，才有可能讨论对应的矩阵A和B是否等价。