图像处理形态学

形态学通常指生物学的一个分支，用来研究动物和植物的形状和结构。在数学形态学的上下文中，这个词也被用作提取图像成分的工具，在表示和描述区域形状(如边界、骨骼和凸壳)时非常有用。此外，我们还密切关注在预处理和后处理中使用的形态学技术，如形态学滤波，细化和裁剪。

数学形态学的基本运算

数学形态学有四种基本运算:腐蚀、膨胀、开和闭。数学形态学方法使用称为结构元素的“探针”来收集图像的信息。当探头在图像中不断移动时，可以考察图像各部分之间的关系，从而了解图像的结构特征。在连续空间中，灰度图像的腐蚀、膨胀、开、闭运算表示如下。

腐蚀

腐蚀使二进制图像中的对象“缩小”或“变薄”。收缩的方式和程度由结构元素控制。数学上，A被B腐蚀，B表示为Aθ b，定义为:

换句话说，A被B腐蚀是所有结构元素原点位置的集合，其中平移的B和A的背景不重叠。

一流的

扩展是对二值图像进行“加长”或“加粗”的操作。这种特殊的方式和增厚的程度是由一组称为结构元素控制的。结构元素通常用0和1的矩阵表示。数学上，通货膨胀被定义为集合运算。a被b展开，记为A⊕B，定义为:其中φ是空集，b是结构元素。总之，A对B的展开是由所有结构元素的原点位置组成的集合，其中映射和平移的B至少与A的某些部分重叠..扩展过程中结构元素的这种平移类似于空间卷积。

展开满足交换定律，即a ⊕ b = b ⊕ a .在图像处理中，我们习惯把a ⊕ b的第一个操作数做成图像，第二个操作数做成结构元素，往往比图像小很多。

展开满足结合律，即a ⊕ (b ⊕ c) = (a ⊕ b) ⊕ c .假设一个结构元素b可以表示为两个结构元素B1和B2的展开，即B=B1⊕B2，那么a⊕b = a⊕(B1⊕B2)=(a↑b 65438+)我们说b可以分解为两个结构元素:b 1和B2。结合律非常重要，因为计算膨胀所需的时间与结构元素中非零像素的数量成正比。通过组合律，分解结构元素，然后分别与子结构元素进行扩张运算，往往能实现非常客观的提速。a被b打开的形态学运算可以记为a吗？B，这种操作是A被B腐蚀后与B膨胀腐蚀的结果，即:

开运算的数学公式是:

其中∨{ }指大括号中所有集合的并集。这个公式简单的几何解释就是:a？b是a中b的完全匹配的平移的并集，形态学开运算完全删除了不能包含结构元素的对象区域，平滑了对象的轮廓，打破了狭窄的连接，去掉了微小的突出部分。a被b形态的封闭运算记录为a b，这是先膨胀后腐蚀的结果:

几何上，a b是b的所有不与a重叠的平移的并集，像开运算一样，形态学闭运算会平滑物体的轮廓。然后，与开放操作不同，封闭操作通常连接狭窄的间隙以形成细长的弯曲，并填充比结构元素更小的孔。

基于这些基本操作，可以衍生和组合各种数学形态学实用算法，用于分析和处理图像的形状和结构，包括图像分割、特征提取、边界检测、图像去噪、图像增强和恢复。