2000年考研有三道真题，第八题

如果具有不变符号的连续函数在某个区间内积分为零，则该函数在该区间内始终等于零。

归谬法:

(1)假设f(x)在(0，π)中没有零点，连续函数f(x)sinx在(0，π)中也没有零点，所以保持不变。但由此及∫ f (x) sinxdx = 0，可以推断f(x)sinx在(0，π)中不变为零(见上面引理)，这是矛盾的。

(2)假设f(x)在(0，π)中有一个零点，记为a，此时分为两种情况:

(2a)若f(x)在(0，a)和(a，π)中符号相同，则f(x)sinx在(0，π)中符号相同，但其积分为零，这样f(x)sinx在(0，π)中始终为零，但sinx在(0，π)中。

(2b)f(x)在(0，a)和(a，π)中有不同的符号。此时，函数f(x)sin(x-a)的符号在(0，π)中不变，但其积分为

∫f(x)sin(x-a)dx =(cos a)∫f(x)sinx dx-(Sina)∫f(x)cosx dx = 0。

所以从上面的引理推导出f(x)sin(x-a)在(0，π)中始终为零，但是sin(x-a)除了在(0，π)中的一点以外都不取零，所以仍然推导出f(x)始终为零，这是矛盾的。

综上所述，f(x)在(0，π)中至少有两个零。