考研积分学

数学三级考试大纲

[考试科目]

微积分、线性代数、概率论和数理统计

结石

一、函数、极限和连续性

考试内容

函数的概念与表示:函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，反函数、复合函数、隐函数和分段函数，以及图形初等函数的数列极限和函数极限的左极限和右极限的概念，无穷小和无穷小的概念，无穷小关系的基本性质和阶的比较极限，四则运算，两个重要的极限函数，连续和不连续的概念，初等函数闭区间上连续函数的性质。

考试要求

1.理解函数的概念，掌握函数的表示法。深刻理解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

2.理解复合函数、反函数、隐函数、分段函数的概念。

3.掌握基本初等函数的性质和图形，理解初等函数的概念。

4.将建立简单应用问题中的函数关系。

5.理解数列极限和函数极限(包括左右极限)的概念。

6.了解无穷小的概念和基本性质，掌握无穷小阶的比较方法。理解无穷的概念及其与无穷小的关系。

7.了解极限的性质和极限存在的两个判据(单调有界数列有极限和夹点定理)，掌握极限的四种算法，会应用两个重要的极限。

8.理解函数连续的概念(包括左连续和右连续)。

9.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值定理和中值定理)及其简单应用。

二、一元函数微分学

考试内容

导数概念函数的可导性与连续性的关系；导数的四则运算；基本初等函数高阶导数的导数微分概念及运算法则:《医院法》;单调函数极值函数图的凹凸性:拐点；以及渐近线函数图的最大值和最小值。

考试要求

1.了解导数的概念以及可导性和连续性的关系，了解导数的几何意义和经济意义(包括边际和弹性的概念)。

2.掌握基本初等函数的求导公式、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；掌握反函数和隐函数的求导方法和对数求导方法。

3.为了理解高阶导数的概念，我们可以找到更简单函数的二阶和三阶导数以及n阶导数。

4.了解微分的概念，导数与微分的关系，一阶微分形式的不变性:掌握微分方法。

5.了解罗尔定理(ROl1e)、拉格朗日中值定理(kgrange)、奥卢奇中值定理的条件和结论，掌握这三个定理的简单应用。

6.会用洛必达法则求极限。

7.掌握判断函数单调性的方法及其应用，掌握极值、最大值、最小值的求解(包括解决简单应用问题)。

8.掌握曲线凸性和拐点的判断方法以及曲线渐近线的求解方法。

9.掌握绘制函数的基本步骤和方法，能画一些简单的函数。

3.一元函数积分学

考试内容

原函数的概念与不定积分不定积分基本性质基本积分

公式的概念和基本性质不定积分和分部积分法定积分积分中值定理由变量上限定积分及其导数定义的函数牛顿-莱布尼茨公式定积分和分部积分的概念广义积分及在计算定积分中的应用。

考试要求

1.理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式；掌握计算不定积分的代换积分法和分部积分法。

2.理解定积分的概念和基本性质。掌握牛顿-莱布尼兹公式，定积分和分部积分的代换积分法。会求变上限定积分的导数。

3.我会用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积，我会用定积分解决一些简单的经济应用问题。

4.了解广义积分的敛散性概念，掌握计算广义积分的基本方法，了解广义积分敛散性的条件。

四、多元函数微积分

考试内容

多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限和连续性二元连续函数在有界闭区域内的性质(最大值定理)多元复合函数偏导数的概念和计算隐函数的求导高阶偏导数全微分多元函数的简单二重积分的基本性质和计算

考试要求

1.了解多元函数的概念，了解二元函数的表示和几何意义。

2.理解二元函数极限和连续性的直观意义。

3.理解多元函数的偏导数和全微分的概念，掌握复合函数的偏导数和全微分的求法，运用隐函数的求导法则。

4.了解多元函数极值和条件极值的概念/掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件。会求二元函数的极值。拉格朗日乘数法将被用来寻找条件极值。能求简单多元函数的最大值和最小值，能解决一些简单的应用问题。

5.了解二重积分的概念和基本性质，掌握二重积分的计算方法(直角坐标和极坐标)。会在无界区域上计算比较简单的二重积分。

五、无穷级数

考试内容

常数项级数敛散性的概念基本性质和收敛的必要条件概念级数收敛几何级数和家居级数收敛正项级数收敛的判别任意项级数的绝对收敛和条件收敛莱布尼兹定理概念幂级数收敛半径、收敛区域(指开区间)和收敛域幂级数和函数在收敛区间的基本性质简单幂级数和函数的解初等函数的幂级数展开

考试要求

1.理解级数的敛散性和收敛级数的和的概念。

2.掌握级数收敛的必要条件和收敛级数的基本性质。掌握几何级数和P级数敛散性的条件。掌握正项级数的比较判别法和达朗贝尔(比值)判别法。

3.了解任意级数的绝对收敛和条件收敛的概念，掌握交错级数的莱布尼兹判别法，掌握绝对收敛和条件收敛的判别法。

4.会求幂级数的收敛半径和收敛域。

5.了解幂级数在收敛域的基本性质(和函数的连续性、逐项微分、逐项积分)，我们会发现一些简单幂级数的和函数。

6.掌握(略)幂等级数的展开式，利用这些展开式将一些简单函数间接展开成幂级数。

六、常微分方程和羡慕方程

考试内容

微分方程的概念微分方程的解、通解、初始条件和特解I可分离微分方程齐次方程一阶线性方程二阶常系数齐次线性方程和简单非齐次线性方程差分和差分方程常系数一阶线性差分方程的通解和特解微分方程和差分方程的简单应用。

考试要求

1.理解微分方程的阶、通解、初始条件、特解等概念。

2.掌握变量可分离的方程、齐次方程、一阶线性方程的解法。

3.能用多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数及其和与积求解二阶常系数齐次线性方程和二阶常系数非齐次线性微分方程。

4.理解差分和差分方程的概念及其通解和特解。

5.掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。

6.会应用微分方程和差分方程解决一些简单的经济应用问题。

线性代数

一.决定因素

考试内容，

行列式的概念和基本性质利用行(列)克莱姆法则的行列式展开定理

考试要求

1.理解阈值行列式的概念。

2.掌握行列式的性质会应用行列式的性质和行列式逐行(列)展开定理计算行列式。

3.会用克莱姆法则解线性方程组。

第二，矩阵

考试内容

矩阵单位矩阵、对角矩阵、量化矩阵、三角矩阵、对称矩阵、正交矩阵的概念，矩阵的乘积矩阵和性质矩阵的伴随矩阵的转置逆矩阵的概念，初等矩阵的初等变换，分块矩阵及其运算矩阵的秩。

考试要求

1.了解矩阵的概念，了解几种特殊矩阵的定义和性质。

2.掌握矩阵的加、乘、乘及其算法；掌握矩阵转置的性质；掌握方阵乘积行列式的性质。

3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质。会用伴随矩阵求矩阵的逆矩阵。

4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵的概念；为了理解矩阵的秩的概念，我们将利用初等变换来求矩阵的逆和秩。

5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的算法。

第三，矢量

考试内容

向量的概念向量和向量的乘积向量之和的线性组合与向量组的线性表示正规向量组的最大线性元素的概念、性质和判别与向量组的秩有关。

考试要求

1.理解向量的概念，掌握向量的加法和乘法运算。

2.了解向量的线性组合和线性表示、向量组的线性相关和线性无关的概念，掌握向量组的线性相关和线性无关的相关性质和判别方法。

3.理解向量组的极大独立组的概念，掌握求向量组的极大独立组的方法。

4.了解向量组的秩的概念，了解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩的关系，求向量组的秩。

第四，线性方程组

考试内容

线性方程组的解与线性方程组解和元解的判定基本解系与齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的解与相应齐次线性方程组(导群)解的关系非齐次线性方程组的通解。

考试要求

1.了解线性方程组解的概念，掌握线性方程组有解与无解的判断方法。

2.了解齐次线性方程组基本解系的概念，掌握齐次线性方程组基本解系的解法和一般解法。

3.掌握非齐次线性方程组通解的解法，用其特解和相应导群的基本解系表示非齐次线性方程组的通解。

动词 （verb的缩写）矩阵的特征值和特征向量

考试内容

矩阵的特征值和特征向量的概念矩阵的相似对角矩阵实对称矩阵的特征值和特征向量

考试要求

1.了解矩阵特征值和特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法。

2.了解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵对角化的充要条件，掌握将矩阵转化为相似对角矩阵的方法。

3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。

第六，二次型

考试内容

二次型及其矩阵表示合同矩阵二次型的秩惯性定理。二次型的标准形和标准形的正交变换二次型及其矩阵的正定性

考试要求

1.理解二次型的概念，用矩阵形式表示二次型。

2.理解二次型的秩的概念，二次型的标准型和标准型的概念(知道惯性定理的条件和结论就会放弃正交变换和配点法把二次型转化为标准型。正定二次型和正定矩阵的概念，掌握正定矩阵的性质。

概率和数理统计

一.随机事件和概率

考试内容

随机事件与样本空间事件的关系，事件的运算与自然事件的独立性，完全事件组概率的定义，概率的基本性质，经典概率条件概率，正态公式，乘法公式，全概率公式和贝叶斯公式，独立重复检验。

考试要求

1.了解样本空间的概念，了解随机事件的概念，掌握事件之间的关系和运算。

2.理解概率和条件概率的概念，掌握概率的基本性质，计算古典概率；掌握概率的加法和乘法公式，以及全概率公式和贝叶斯公式。

3.理解事件独立性的概念，掌握具有事件独立性的概率计算；了解独立重复试验的概念，掌握相关事件概率的计算方法。

二、随机变量及其概率分布

考试内容

随机变量的分布函数及其概率分布的概念和性质离散型随机变量的概率分布和连续型随机变量的概率密度常见随机变量的概率分布及其联合(概率)分布二维离散型随机变量的联合概率分布和边缘分布二维连续型随机变量的联合概率密度和边缘密度两个连续型随机变量之和的分位数的概念。

考试要求

1.理解随机变量的概念及其概率分布；理解分布函数f (x) = p {x ≤ x}的概念和性质；计算与随机变量相关的事件的概率。

2.了解离散随机变量的概念及其概率分布，掌握0-1分布、二项分布、超级JLnn分布、POison分布及其应用。

3.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握概率密度与分布函数的关系；掌握均匀分布、指数分布、正态分布及其应用。

4.了解二维随机变量的概念以及二维随机变量联合分布的概念、性质和两种基本形式:离散的联合概率分布和边缘分布，连续的联合概率密度和边缘密度；会用二维概率分布求相关事件的概率。

5.了解随机变量的独立性和无关性的概念，掌握离散型和连续型随机变量相互独立的条件。

6.把握二维均匀分布；了解二维正态分布的密度函数及其参数的概率意义。

7.掌握根据自变量的概率分布求其较简单函数的概率分布的基本方法；会求两个随机变量之和的概率分布；了解生成χ 2变量、χ2变量、f变量的典型模式；了解标准正态分布的分位数:χ2分布、t分布、f分布，查相应的数值表。

三、随机变量的数值特征

考试内容

随机变量的数学期望、方差、标准差及其基本性质；随机变量函数的数学期望；切比雪夫不等式；两个随机变量的协方差和性质；两个随机变量的相关系数和性质。

考试要求

1.理解随机变量的数字特征(期望、方差、标准差、协方差、相关系数)的概念，利用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征，掌握常见分布的数字特征。

2.根据随机变量1的概率分布，求出其函数的数学期望eg(x)；其函数g(x，y)的数学期望eg(x，y)将根据随机变量调和y的联合概率分布求出。

3.掌握切比雪夫不等式。

第四，大数定律和中心极限定理

考试内容

切比雪夫大数定律Bemoulli大数定律Khinchine大数定律泊松定理Lemoff-Laplace定理(二项式分布以正态分布为极限分布)Levi-Lindbergh定理(独立同分布的中心极限定理)

考试要求

1.理解切比雪夫、伯努利和秦心大数定律的条件和结论，理解其直观意义。

2.掌握泊松定理的结论和应用条件，利用泊松分布近似计算二项分布的概率。

3.掌握莫霍弗-拉普拉斯中心极限定理和列维-林德伯格中心极限定理的结论和应用条件，利用相关定理近似计算随机事件的概率。

五、数理统计的基本概念

考试内容

总体简单随机样本统计量经验分布函数的样本均值、样本方差、样本矩

考试要求

理解总体、简单随机样本、统计学、样本均值和样本方差的概念；了解经验分布函数；掌握正态总体的抽样分布(标准正态分布、χ2分布、f分布、t分布)

不及物动词参数估计

考试内容

点估计的概念估计量和估计值矩估计法极大似然估计的选择标准估计量区间估计的概念单个正态总体均值的区间估计平方检验和单个正态总体标准差的区间估计两个正态总体的均值差和方差比的区间估计

考试要求

1.理解点估计、估计量和参数估计值的概念；了解无偏估计量、最小方差(有效性)和一致性(一致性)的概念，检查无偏估计量。

2.掌握矩估计法和极大似然估计法，

3.掌握单个正态总体均值和方差置信区间的求解。

4.掌握两个正态总体的均值差和方差比的置信区间的求解。

七、假设检验

考试内容

显著性检验的基本思想和步骤以及单个和两个正态总体的均值差和方差的假设检验

考试要求

1.了解显著性建构研究的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验中可能出现的两种错误。

2.理解单个和两个正态总体的均值和方差的假设检验。

[试卷结构]

(1)含量比例

微积分大概是50%

线性代数约占25%

概率论与数理统计约占25%

(二)提问的比例

填空题和选择题30%左右

答题(包括证明题)70%左右