用高变量上限函数推导上限变量

首先方程右边的积分是分部积分，u = x 2-t 2，dv=f'(t)dt=df(t)选取为x 2 * f (0)+∫ (0到x) 2tf(t)dt。所以f(x)= x ^ 2 * f(0)+∫(0到x)2tf(t)dt+x ^ 2。

等式两边的求导得到f'(x)=2x*f(0)+2xf(x)+2x。

在原方程两边代入x=0，得到f(0)=0。

所以f'(x)=2xf(x)+2x，f(0)=0。

这是一个一阶微分方程。如果y=f(x)，那么y'-2xy=2x。

先求解y'-2xy=0。分量变量，dy/y=2xdx。两边积分，lny = x ^ 2+lnc，所以y = ce(x ^ 2)。

假设原微分方程的解为y = c(x)e(x ^ 2)，代入得到c '(x)= 2xe(-x ^ 2)。积分是c(x)=-e(-x ^ 2)+c。

所以原微分方程的通解是y =[-e(-x ^ 2)+c]e(x ^ 2)=-1+ce(x ^ 2)。

所以f(x)=-1+ce(x ^ 2)。

从f(0)=0可以得到C=1。

所以f(x)=-1+e(x ^ 2)。

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好像是考研真题。即使不是真题，难度也符合要求。