考研高数偏导数题！

把一个二元函数想象成一个平面上的函数，那么连续性就需要在各个方向(水平、垂直、倾斜)都是连续的；但对X的偏导数的存在只说明函数在限定于每一条水平直线(y=a)后可导为X的一元函数，对Y的偏导数的存在只说明函数在限定于每一条垂直直线(x=a)后可导为Y的一元函数。

最简单的例子:如果二元函数在左半平面定义为0，在右半平面定义为1，那么它在每一条垂直直线上可微(因为它是常数)，在水平直线上不连续(左0，右1)，所以它对y的偏导数存在但不连续；同样，如果定义一个二元函数，在下半平面取0，在上半平面取1，那么它对x的偏导数存在，但不连续。

即使二元函数对x和y的偏导数存在，也只是意味着它在所有水平和垂直的直线上都可以求导，理论上在一条斜直线上仍然可能是不连续的。这种功能不像上面想的那么容易，但确实存在。一般微积分书上会给出一个标准例子:f(x，y)在坐标原点取0，其他地方= xy/(x ^ 2+y ^ 2)。

概而言之，一般的多元函数可以想象成高维空间中的函数，需要在各个方向上连续，而偏导数的存在只意味着可以在平行于坐标平面的所有平面上求导——后者无法推导出前者。一元函数没有这个问题，因为直线上只有一个方向。

这其实是一个连续的证明问题。

当左右极限相等时，偏导数存在。但是此时的极限不一定等于这个点的导数值，明白吗？

要证明偏导数是连续的，就要证明左右极限相等，等于这个点的偏导值。

你也可以这么说，有点像去了一个不连续点~(这只是个比方)