2016考研高等数学试卷

y''+2y'+2y=e^(-x)*(1+cosx)=e^(-x)+e^(-x)*cosx

拆分:f''+2f'+2f = e (-x)...①

g''+2g'+2g=e^(-x)*cosx……②

所以原方程y * = f+g的特解。

①f''+2f'+2f=e^(-x)

因为特征方程的判别式

我们可以把它的特解设为:f = c * e (-x)，代入方程①得到C=1。

所以方程①的特解是:f = e (-x)

②g''+2g'+2g=e^(-x)*cosx

因为-1+i是特征方程的根。

特解可设为:g = xe (-x) * (c1cosx+c2sinx)。

g'=e^(-x)*(c1cosx+c2sinx)-g+xe^(-x)*(c2cosx-c1sinx)

g''=-e^(-x)*(c1cosx+c2sinx)+2e^(-x)*(c2cosx-c1sinx)-g'-xe^(-x)*(c2cosx-c1sinx)-xe^(-x)*(c1cosx+c2sinx)

代入方程②，我们得到C2=1/2，C1=0。

因此，方程②的特解为:g = (x/2) * e (-x) * sinx。

所以原方程的特解是:y * = e (-x) * [1+(x/2) * sinx]。

一般的解法是:y = e(-x)*(acosx+bsinx)+e(-x)*[1+(x/2)* sinx]

其中a和b是任意常数。