考研进阶数极限举例

三(2)个等效变化= x ^ 2(x/2)/[x？]=1/2描述X->；Arctanx，ln (1+x)和sinx在0处相当于x。

1-cosx=2sin？(x/2)相当于x？/2

(3)t = 1-x t->；0 limt sin(π/2-πt/2)/cos(π/2-πt/2)= lim(2/π)[(πt/2)/sin(πt/2)]cos(πt/2)= 2/π

(5) x->0-e^(1/x)->；0 arctan(1/x)->(-π/2)左极限=π/2

x-& gt；0+e^(-1/x)->；0 arctan(1/x)->(π/2)右极限=π/2

注:e(1/x)+1/e(1/x)-1 = 1+e(-1/x)/1-。

左极限=右极限=π/2存在原极限=π/2

四x=0 f(x)=0

x & gt0 lime^(-nx)=0 f(x)= lim[xe^(-nx)+x^2]/[e^(-nx)+1]=x^2

x & lt0 lime^(nx)=0 f(x)= lim[x+x^2e^(nx)]/[1+e^(nx)]=x

当x≠0时F(x)是连续的。

x-& gt；0+limf(x)= 0x-& gt；0- limf(x)=0

x-& gt；0 limf(x)=0=f(0)在0点连续。

F(x)连续性

五、夹点定理方程

方程式>[1+2+...+n]/[n^2+n+n]=[n^2+n]/[2(n^2+n+n)]->；1/2

原始限额=1/2

六A(1)= 2a(n+1)= 2+1/A(n)显然A(n)>；2

a(n+2)-a(n)= 1/a(n+1)-1/a(n-1)=-[a(n)-a(n-1)]/[a(n+1)a(n-1)]

a(3)= 12/5 & gt；a(1)，a(4)= 29/12 & lt；答(2)

可以证明{a(2n)}单调递减，{a(2n-1)}单调递增。

还可以证明a(2n+1)-a(2n)= 1/[2+1/a(2n-1)]-1/[2+1/a(2n-)

=[a(2n-1)-a(2n-2)]/{ a(2n-2)a(2n-1)[2+1/a(2n-1)][2+1/a(2n-2)]]

和一个(3)

{a(2n)}单调下降有下一阶段且极限存在，{a(2n-1)}单调下降有上一阶段且极限存在。

设Lima (2n) = x Lima (2n-1) = y。

从A (2n) = 2+1的两边取极限可以得到X=2+1/y。

从a(2n+1)=2+1/a(2n)两边取极限得到Y = 2+1/x。

x-y = 1/y-1/x =(x-y)/[xy]给出x = y。

所以x=2+1/x给出x=1+√2或1-√2。

因为a (n) >: 2所以x & gt所以x=y=1+√2。

所以李曼=1+√2 0+√ 2。