高分:谁能给我整理一下高数的基本规律？

第1章功能和限制

1，函数的有界性如果f(x)≥K1在定义域内，函数f(x)在定义域内有一个下界，K1为下界；如果f(x)≤K2，则存在上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充要条件是定义域内既有上界又有下界。

2.数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛到两个不同的极限。

定理(收敛序列的有界性)如果序列{xn}收敛，那么序列{xn}必定有界。

如果序列{xn}是无界的，那么序列{xn}必定发散；但是，如果序列{xn}有界，则不能得出序列{xn}一定收敛的结论，例如，序列1，-1，-1，-1) n+1...这个数列是有界但发散的，所以这个数列。

定理(收敛序列与其子序列的关系)若序列{xn}收敛于a，则它的任何子序列也收敛于a .若序列{xn}的两个子序列收敛于不同的极限，则序列{xn}是发散的，如序列1，-1，-65438。同时，发散序列的子序列也可能是收敛的。

3、函数的极限在函数极限0的定义中

定理(极限的局部保号性质)若f(x)=A当lim(x→x0)，且A >；0(或a；0(或f(x)>0)，反之亦然。

函数f(x)当x→x0时，极限存在的充要条件是左极限和右极限存在且相等，即f(x0-0)= f(x0+0)；如果它们不相等，limf(x)就不存在。

一般来说，如果lim(x→∞)f(x)=c，直线y=c就是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，那么直线x=x0就是函数y=f(x)的图的垂直渐近线。

4.极限运算定理的有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数和无穷小的乘积是无穷小；常数和无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，limF1(x)=a，limF2(x)=b，则A ≥ B .

5.极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)= 1；lim(x→∞)(1+1/x)x = 1。如果序列{xn}、{yn}和{zn}满足以下条件，则收缩准则:yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，则Limxn =

单调有界序列一定有极限。

6.函数的连续性设函数y=f(x)定义在点x0的邻域内。如果函数f(x)的极限在x→x0时存在，且等于其在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，则称之为函数f(x)。

不连续情况:1，在x=x0点未定义；2.虽然定义在x=x0，但lim(x→x0)f(x)不存在；3.虽然定义了x=x0且lim(x→x0)f(x)存在，但当lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时，称函数在x0处不连续或不连续。

如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限和右极限都存在，则称为函数f(x)的第一类间断点(如果左右极限相等，则称为断头点，如果不相等，则称为跳跃间断点)。任何不是第一类不连续的不连续称为第二类不连续(无限不连续和振荡不连续)。

定理在某一点连续的有限个函数的和、积、商(分母不为0)是在该点连续的函数。

定理如果函数f(x)单调递增或递减且在区间Ix内连续，那么它的反函数x=f(y)单调递增或递减且在对应的区间Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}内连续。反三角函数在其定义域内都是连续的。

定理(最大值定理和最小值定理)在闭区间上连续的函数在这个区间上一定有最大值和最小值。如果函数在开区间内是连续的，或者在闭区间内有不连续点，那么函数在这个区间内不一定有最大值和最小值。

定理(有界性定理)在闭区间上连续的函数必在该区间上有界，即m ≤ f (x) ≤ m .定理(零点定理)假设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，f(a)和f(b)是不同的符号(即f (a) × f (b) & 0)，则函数f(x)在开区间(A，b)上至少有一个零点，即至少有一个点ξ (a

由此推断，在闭区间上连续的函数必定获得最大值m和最小值m之间的任意值。

第二章导数和微分

1.导函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是左极限lim(h→-0)[f(x0+h)-f(x0)]/h和右极限lim(h→+0)[f(x0+h)-在点x0处。

2.函数f(x)在点x0 = >处可导；函数在这一点上是连续的；函数f(x)在点x0≦>连续:可以在这一点上进行。也就是说，函数在某一点的连续性是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件。

3.原函数可以引导反函数求导，反函数的导数是原函数导数的倒数。

4.函数f(x)在点x0 = >处可微；这个函数在这一点上是可导的；函数f(x)在点x0可微的充要条件是函数在该点可微。

第三章中值定理和导数的应用

1，定理(罗尔定理)若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)上可导，且区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b)，则在开区间(a，b)上至少有一个点ξ。ξ& lt；b)，使得函数f(x)在该点的导数等于零:f'(ξ)= 0。

2.定理(拉格朗日中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a，b]连续，在开区间(a，b)可导，那么至少有一个点ξ (a

3.定理(柯西中值定理)如果函数f(x)和F(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)上可导，且F'(x)在(a，b)上的每一点都不为零，那么至少在开区间(a，b)上。

4.L 'Bida定律的应用条件只能是0/0，∞ /∞，0×∞，∞-∞，00，1∞，∞ 0等形式。

5.判断函数单调性的方法设函数f(x)在闭区间[a，b]连续，在开区间[a，b]可导，则:(1)若在(a，b)内，f '(x)>；0，则函数f(x)在[a，b]上单调递增；(2)如果在(a，b) f' (x)中

如果函数在定义区间内连续，点外导数存在且除有限个导数外连续，那么如果函数f(x)的定义区间除以方程f'(x)=0的根，且f'(x)不存在的点，则可以保证f'(x)在每个偏区间内保持固定的符号，所以函数f(x)在每个偏区间内单调。

6.函数的极值如果函数f(x)定义在区间(a，b)中，x0是(a，b)中的一个点，如果存在点x0的向心邻域，则称f(x0)是这个向心邻域中任意一点的函数f(x)。

函数取得极值的地方，曲线上的切线是水平的，但曲线上有水平曲线的地方，函数不一定取得极值，即导函数的极值点一定是它的驻点(导数为0的点)，但函数的驻点不一定是极值点。

定理(函数取得极值的必要条件)设函数f(x)在x0可导，在x0取得极值，则函数在x0的导数为零，即f'(x0)=0。定理(函数获得极值的第一个充分条件)设函数f(x)在x0的一个邻域内可导，f'(x0)=0。当x到x0右侧附近的值时，f'(x)总是负的，所以函数f(x)在x0处取最大值；(2)如果x取一个接近x0左边的值，f’(x)总是负的；当x到x0右侧附近的值时，f'(x)总是正的，所以函数f(x)在x0取最小值；(3)如果当x取x0左右两侧附近的值时，f'(x)总是正的或负的，那么函数f(x)在x0处没有极值。

定理(函数求极值的第二充分条件)设函数f(x)在x0处有二阶导数且f'(x0)=0，f' (x0) ≠ 0则:(1)当f' (x0) : 0时，函数f(x)在x0处取最小值；驻点可能是极值点，不是驻点也可能是极值点。

7.函数的凹凸性及其判定让f(x)在区间Ix上连续。对于任意两点x1，x2总是有f [(x1+x2)/2]

定理假设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)上有一阶和二阶导数，那么(1)如果f'' (x)在(a，b >；0，那么f(x)在闭区间[a，b]上的图是凹的；(2)如果在(a，b) f'' (x)中

步骤(1)判断曲线的拐点(凹凸边界点)以找到f″(x)；(2)设f''(x)=0，在区间(a，b)求解此方程的实根；(3)对于在(2)中求解的每个实根x0，检查x0左侧和右侧的f''(x)的符号。如果f''(x)在x0的左右两边保持一定的符号，那么当两边的符号相反时，点(x0，f(x0))就是拐点。当两边符号相同时，点(x0)为拐点。

画函数时，如果函数有不连续点或导数不存在的点，这些点也要作为分支点。

第四章不定积分

1.原函数存在定理如果函数f(x)在区间I上连续，则在区间I上存在可微函数F(x)，使得对于任意x∈I，存在F '(x)= F(x)；简单来说，连续函数一定有原函数。

如果被积函数是幂函数和正弦余弦或幂函数和指数函数的乘积，可以考虑用分部积分，将幂函数和指数函数设为U，这样幂函数的幂就可以用一次分部积分降一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，则对数和反三角函数可设为u .

2.对于一个初等函数，它的原函数一定存在于它的定义区间内，但原函数并不都是初等函数。

第五章定积分

1，曲线梯形定积分(1)面积解决的典型问题(2)变速直线运动的距离。

2.函数可积的充分条件定理设f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上可积，即连续= & gt可积的

定理设f(x)在区间[a，b]上有界且只有有限个不连续点，则f(x)可在区间[a，b]上积分。

3.定积分的一些重要性质如果f(x)≥0在区间[a，b]上，则∫abf(x)dx≥0。由此推断，若区间[a，b]上的f(x)≤g(x)，则∫ ABF (x) dx ≤ ∫。则m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a)，说明可以从被积函数在积分区间内的最大值和最小值来估计积分值的近似范围。

性质(定积分中值定理)若函数f(x)在区间[a，b]上连续，则在区间[a，b]上至少有一个点ξ，使得下式成立:∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。

4.设函数f(x)除以点c (a

第六章定积分的应用

求平面图形的面积(由曲线围成的面积)

在笛卡尔坐标系中(有和没有参数)

在极坐标系中(r，θ，x=rcosθ，y=rsinθ)(扇形面积公式S=R2θ/2)

旋转体的体积(由连续曲线、直线和坐标轴围成的区域绕坐标轴旋转)(以及体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程)。

平行横截面积是已知的固体体积(V=∫abA(x)dx，其中A(x)是横截面积)。

功、水压、重力

函数的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)

第七章多元函数的微分方法及其应用

1.多元函数的条件极限存在性是指当P(x，y)以任何方式逼近P0(x0，y0)时，函数无限逼近a，如果P(x，y)以特殊方式逼近P0(x0，y0)，例如沿着一条确定的直线或曲线，即使函数无限逼近某个值，我们反过来，如果当P(x，y)以不同方式趋向P0(x0，y0)时，函数趋向不同的值，那么可以断定这个函数的极限不存在。比如函数:f(x，y)= { 0(xy)/(x ^ 2+y ^ 2)x ^ 2+y ^ 2≠0。

2.多元函数连续性的定义设函数f(x，y)定义在开区域(或闭区域)D，P0(x0，y0)是D和P0∈D的内点或边界点，若lim(x→x0，y→y0)f(x，y)=f(x0，y0)。

一个多元连续函数，其性质(最大值定理和最小值定理)在一个有界闭区域D上，必有一个最大值和一个最小值在D上。

一个多元连续函数，其性质(中值定理)在有界闭区域D中，如果它在D上获得两个不同的函数值，它在D上至少获得一次这两个值之间的任何值。

3.多元函数的连续性和可导性如果一元函数在某一点有导数，那么它在该点一定是连续的，但对于多元函数，即使所有偏导数在某一点都存在，也不能保证函数在该点是连续的。这是因为偏导数的存在只能保证当点P沿平行于坐标轴的方向趋于P0时函数值f(P)趋于f(P0)，而不能以任何方式保证当点P趋于P0时函数值f(P)趋于f(P0)。

4.多元函数可微的必要条件一元函数在某点导数的存在是微分存在的充要条件，但多元函数偏导数的存在只是全微分存在的必要条件，而不是充分条件，即微分= >；可微的

5.多元函数可微的充分条件定理(充分条件)如果函数z=f(x，y)的偏导数存在且在点(x，y)连续，则函数在该点可微。

6.多元函数存在极值的充要条件定理(必要条件)假设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)有偏导数，在点(x0，y0)有极值，那么它在该点的偏导数一定为零。

定理(充分条件)设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)的一个邻域内连续且有一阶和二阶连续偏导数，fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，使fxx(x0，y0)=0=A，.0有一个极值，当

7.多元函数极值存在性的解决方法(1)求解方程fx(x，y)=0的所有实数解，可以得到所有驻点。

(2)对于每个驻点(x0，y0)，求二阶偏导数A，B，c的值(3)确定AC-B2的符号，判断f(x0，y0)在充分条件下是最大值还是最小值。

注:在考虑函数的极值时，除了函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，也要考虑这些点。

第八章二重积分

1，二重积分的一些应用曲顶圆柱的体积曲面面积(a = ∫∫ [1+F2x (x，y)+F2x (x，y)]dσ)。

平板的质量平板重心的坐标(x = 1/A∫xdσ，y = 1/A∫YDσ；其中A=∫∫dσ是闭合区域d的面积。

平面薄板的惯性矩(Ix=∫∫y2ρ(x，y)dσ，Iy=∫∫x2ρ(x，y)dσ；其中ρ(x，y)是点(x，y)处的密度。

平面薄板对质点的引力(FxFyFz)

2.二重积分存在的条件当f(x，y)在闭区域D上连续时，极限存在，所以函数f(x，y)在D上的二重积分一定存在。

3.二重积分的一些重要性质如果在D，f(x，y)≤ψ(x，y)上，有一个不等式∫∫f(x，y)dxdy ≤∫ψ (x，y)dxdy，特别是因为-

性质(二重积分中值定理)设函数f(x，y)在闭区域D上连续，σ为D的面积，则D上至少有一个rsinθ (ξ，η)，使得下式成立:∫∫f(x，y) d σ = f (ξη) * σ 4。