高考:多元函数微分法及其应用？

1，多元函数极限存在的条件

极限的存在是指当P(x，y)以任何方式逼近P0(x0，y0)时，函数无限逼近a，如果P(x，y)以某种方式逼近P0(x0，y0)，例如，即使函数无限逼近某个值，我们也不能得出函数极限存在的结论。反之，如果函数在P(x，y)以不同的方式趋向P0(x0，y0)时趋向不同的值，那么可以得出结论，这个函数的极限不存在。比如函数:f(x，y)= { 0(xy)/(x ^ 2+y ^ 2)x ^ 2+y ^ 2≠0。

2.多元函数连续性的定义。

设函数f(x，y)定义在开区域(或闭区域)D中，P0(x0，y0)是D和P0∈D的内点或边界点，若lim(x→x0，y→y0)f(x，y)=f(x0，y0)，则称为f(。

一个多元连续函数，其性质(最大值定理和最小值定理)在一个有界闭区域D上，必有一个最大值和一个最小值在D上。

一个多元连续函数，其性质(中值定理)在有界闭区域D中，如果它在D上获得两个不同的函数值，它在D上至少获得一次这两个值之间的任何值。

3.多元函数的连续性和可微性

如果一元函数在某一点有导数，那么它在该点一定是连续的，但是对于多元函数，即使所有偏导数在某一点都存在，也不能保证函数在该点是连续的。这是因为偏导数的存在只能保证当点P沿平行于坐标轴的方向趋于P0时函数值f(P)趋于f(P0)，而不能以任何方式保证当点P趋于P0时函数值f(P)趋于f(P0)。

4.多元函数可微的必要条件

一元函数在某一点的导数存在是微分存在的充要条件，但多元函数偏导数存在只是全微分存在的必要条件，而不是充分条件，即微分= >；可微的

5.多元函数可微的充分条件

定理(充分条件)如果函数z=f(x，y)的偏导数存在且在点(x，y)连续，那么函数在该点可微分。

6.多元函数极值存在的充要条件

定理(必要条件)假设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)有偏导数，在点(x0，y0)有极值，那么它在该点的偏导数一定为零。

定理(充分条件)设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)的一个邻域内连续且有一阶和二阶连续偏导数，fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，使fxx(x0，y0)=0=A，.0有极值，A0有最小值时；(2)AC-B2

7.多元函数极值存在性的解决方法

(1)求解方程fx(x，y)=0，fy(x，y)=0的所有实数解，即可得到所有驻点。

(2)对于每个驻点(x0，y0)，求二阶偏导数A，B，c的值(3)确定AC-B2的符号，判断f(x0，y0)在充分条件下是最大值还是最小值。

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