考研数学一考试大纲

高等数学

第一章:函数、极限和连续性

考试内容:函数的概念与表示，函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性，反函数、分段函数、隐函数的基本初等函数的性质，图形初等函数的函数关系的建立。

数列极限和函数极限的定义及其性质，函数的左极限和右极限，无穷小和无穷小的概念及其关系，无穷小的性质和无穷小的四个运算极限，两个重要的极限:单调有界判据和夹点判据；

连续函数的概念，函数间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质；

1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，建立应用问题中的函数关系。

2.理解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。3.理解复合函数与分段函数、反函数与隐函数的概念。4.掌握基本初等函数的性质和图形，理解初等函数的概念。

5.了解极限的概念，函数的左极限和右极限的概念，函数极限的存在性与左极限和右极限的关系。6.掌握极限的性质和四种算法。

7.掌握极限存在的两个判据，并利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8.理解无穷小和无穷小的概念，掌握无穷小的比较方法，用等价无穷小求极限。9.理解函数连续的概念(包括左连续和右连续)，区分函数间断点的类型。10.理解连续函数和初等函数的性质。

第二章:一元函数微分学。

考试内容:导数和微分概念的几何意义以及物理意义函数的可导性和连续性的关系；平面曲线的切线、法向导数和微分的四则运算:参数方程确定的函数的导数复合函数、反函数、隐函数和微分方法高阶导数的一阶微分不变微分中值定理洛必达定律函数单调性判别函数极值函数图形凹凸性、拐点和渐近线函数图形描述函数最大最小弧微分曲率概念曲率圆曲率半径。

考试要求:

1.了解导数和微分的概念，了解导数和微分的关系，了解导数的几何意义，求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，用导数描述一些物理量，了解函数可导性和连续性的关系。

2.掌握导数的四种算法和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的求导公式。知道了微分的四种算法和一阶微分形式的不变性，就可以求出函数的微分。

3.如果你理解了高阶导数的概念，你会发现简单函数的高阶导数。

4.我们可以求分段函数、隐函数、参数方程确定的函数、反函数的导数。

5.理解并运用罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，理解并运用柯西中值定理。

6.掌握用洛必达定律求不定式极限的方法。

7.理解函数极值的概念，掌握判断函数单调性和用导数求函数极值的方法，掌握求函数最大值和最小值的方法及其简单应用。

8.会用导数判断函数图的凹凸性(注:在区间(a，b)中，设函数f(x)有二阶导数。当时f(x)的图形是凹的；当f `` (x) < 0时，f(x)的图形是凸的)，就会找到函数图形的拐点和水平、垂直、斜渐近线，从而刻画出函数图形。

9.理解曲率、曲率圆、曲率半径的概念，计算曲率和曲率半径。

第三章:一元函数的积分。

考试内容:原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，定积分公式的概念和基本性质，定积分的中值定理，用定积分及其导数表示和计算质心积分上限的函数牛顿-莱布尼茨公式，不定积分和定积分的换元积分法，分部有理函数积分的有理公式，三角函数和简单无理函数的积分广义反常(广义)积分定积分的应用。

考试要求:

1.理解原函数的概念和不定积分、定积分的概念。

2.掌握不定积分的基本公式，不定积分和定积分的性质以及定积分的中值定理，掌握换元法和分部积分法的积分方法。

3.能求有理函数的积分，三角函数的有理公式，简单无理函数。

4.了解积分上限的作用，求其导数，掌握牛顿-莱布尼兹公式。

5.知道广义反常积分的概念，就可以计算广义反常积分。

6.掌握一些几何物理量的表达和计算(平面图形的面积，平面曲线的弧长，旋转体的体积和侧面积，平行截面的面积已知固体的体积，功，重力，压力，质心，形心等。)和定积分求函数的平均值。

第四章:向量代数与空间解析几何。

考试内容:

向量的概念向量的线性运算向量的定量积和叉积向量的混合积是两个向量垂直平行的条件。两向量夹角向量的坐标表达式及其运算单位向量方向数和方向余弦曲面方程和空间曲线方程是平面方程、直线方程平面对平面、平面对直线、直线对直线夹角和平行的概念。垂直条件点与平面的距离和点到直线的距离常用的球面柱面回转面及其图形空间曲线的参数方程和一般方程空间曲线在坐标平面上的投影曲线方程。

考试要求:

1.了解空间直角坐标系，了解向量的概念及其表示。

2.掌握向量的运算(线性运算、数量积、叉积、混合积)，了解两个向量垂直平行的条件。

3.了解单位向量、方向数、方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

4.主平面方程和直线方程及其解法。

5.会求平面、平面与直线、直线与直线的夹角，会利用平面与直线的关系(平行、垂直、相交等。)来解决相关问题。

6.可以求出点到一条直线的距离和点到一个平面的距离。

7.理解曲面方程和空间曲线方程的概念。

8.了解二次曲面及其图形的方程，找到柱面和回转面的简单方程。

9.理解空间曲线的参数方程和一般方程。了解空间曲线在坐标平面上的投影，求投影曲线的方程。

第五章:多元函数微分学。

考试内容:

多元函数的概念、二元函数的几何意义、二元函数的极限和连续性的概念、多元连续函数在有界闭区域内的性质、多元函数偏导数和全微分存在的必要条件和充分条件、隐函数的求导方法、多元复合函数的二阶偏导数方向导数和梯度空间曲线的切线以及平面曲面的切面和法线的二阶泰勒公式、多元函数的最大值和条件极值及其简单应用

考试要求:

1.了解多元函数的概念和二元函数的几何意义。

2.理解二元函数的极限和连续性的概念，以及有界闭区域内连续函数的性质。

3.了解多元函数的偏导数和全微分的概念，可以找到全微分，了解全微分存在的充要条件，了解全微分形式的不变性。

4.理解方向导数和梯度的概念，掌握它们的计算方法。

5.掌握多元复合函数一、二阶偏导数的求解。

6.知道了隐函数的存在定理，就可以求出多元隐函数的偏导数。

7.理解空间曲线的切线和法平面以及曲面的切线和法平面的概念，并求出它们的方程。

8.了解二元函数的二阶泰勒公式。

9.了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值的必要条件，了解二元函数极值的充分条件，求二元函数极值，用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。

第六章:多元函数的积分。

考试内容:

二重积分和三重积分的概念、性质、计算和应用；两类曲线积分的概念、性质和计算:格林公式；平面曲线积分与路径无关的条件；二元函数的原函数；两类曲面积分的概念、性质和计算:高斯公式；斯托克斯公式；散度和旋度的概念；以及曲线积分和曲面积分的计算。

考试要求:

1.理解二重积分的概念、性质和中值定理。

2.掌握二重积分(直角坐标、极坐标)的计算方法，能计算三重积分(直角坐标、柱坐标、球坐标)。

3.理解两类曲线积分的概念、性质和关系。

4.掌握两类曲线积分的计算方法。

5.掌握格林公式并利用平面曲线积分和路径元素的条件，求二元函数全微分的原函数。

6.了解两类曲面积分的概念、性质和关系，掌握两类曲面积分的计算方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，用斯托克斯公式计算曲线积分。

7.引入并计算了溶解和旋度的概念。

8.我们可以用多重积分、曲线积分、曲面积分求一些几何物理量(面积、体积、表面积、弧长、质量、质心、惯性矩、重力、平面图形的功和流等。).

第七章:无穷级数

考试内容:

常数项级数的敛散性级数几何级数和P级数的和的概念级数的基本性质和收敛的必要条件及其收敛判别正项级数的绝对收敛和条件收敛交错级数和莱布尼兹定理和函数的概念幂级数及其收敛半径，幂级数的和函数在收敛区间(指开区间)和收敛域的基本性质；简单幂级数和函数的求解:初等函数幂级数展开式的傅立叶系数和傅立叶级数的狄利克雷定理:[-l，l]上傅里叶级数函数的正弦级数和余弦级数。

考试要求:

1.了解收敛的常数项级数的敛散性、和的概念，掌握级数的基本性质和收敛的必要条件。

2.掌握几何级数和P级数的敛散性条件。

3.掌握正项级数收敛的比较法和比值法，会用到根值法。

4.掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

5.了解任意级数的绝对收敛和条件收敛的概念，以及绝对收敛和收敛的关系。

6.了解函数项级数的收敛域和和函数的概念。

7.理解幂级数收敛半径的概念，掌握幂级数收敛半径、收敛区间、收敛域的求解。

8.知道了幂级数在其收敛区间内的一些基本性质(和函数的连续性，逐项求导，逐项积分)，我们就会求出某些幂级数在其收敛区间内的和函数，进而求出某些级数的几项之和。

9.理解函数展开成泰勒级数的充要条件。

10.掌握、、和的maclaurin展开式，利用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

11.知道了傅立叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，我们就把定义在地面上的函数展开成傅立叶级数，把定义在地面上的函数展开成正弦级数和余弦级数，写出傅立叶级数和的表达式。

第八章:常微分方程

考试内容:

常微分方程的基本概念可分离变量微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程伯努利方程所有微分方程都可以通过简单的变量代换来求解有些微分方程可以化简为高阶线性微分方程解的性质和结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于某些二阶常系数齐次线性微分方程二阶非齐次线性微分方程的简单应用欧拉微分方程。

考试要求:

1.了解微分方程的概念及其阶、解、通解、初始条件、特解。(调整前知识点:理解微分方程及其解、阶、通解、初始条件、特解等概念。)

2.掌握变量可分离的微分方程和一阶线性微分方程的解法。

3.可以解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，可以用简单变量代替部分微分方程。

4.将通过降阶法求解以下方程。5.了解线性微分方程解的性质和结构。

6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的求解，能解一些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

7.能用多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数及其和与积求解二阶常系数非齐次线性微分方程。

8.可以解欧拉方程。

9.能利用微分方程解决一些简单的应用问题。

线性代数

第一章:行列式

考试内容:

行列式的概念和基本性质行列式按行(列)展开定理

考试要求:

1.理解行列式的概念，掌握其性质。

2.将应用行列式的性质和行列式展开定理来计算行列式。

第2章:矩阵

考试内容:

矩阵的概念、矩阵的线性运算、矩阵的乘法、行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质、矩阵可逆的充要条件、伴随矩阵的初等变换、初等矩阵的秩矩阵等价分块矩阵及其运算

考试要求:

1.了解矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵的概念及其性质。

2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规则，了解方阵幂和方阵积的行列式性质。

3.了解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质和矩阵可逆的充要条件，了解伴随矩阵的概念，利用伴随矩阵求逆矩阵。

4.了解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，了解矩阵秩的概念，掌握用初等变换求矩阵秩和逆矩阵的方法。

5.理解分块矩阵及其运算。

第三章:向量

考试内容:

向量的概念向量的线性组合与向量组的线性相关的线性表示与线性无关向量组的极大线性无关等价向量组关系向量组的秩与矩阵的秩之间的向量空间与相关概念的正交归一方法N维向量空间基变换与坐标变换转换矩阵向量内积线性无关向量组正交基正交矩阵的规范及其性质。

考试要求:

1.理解N维向量、向量的线性组合和线性表示的概念。

2.了解向量组的线性相关和线性无关的概念，掌握向量组的线性相关和线性无关的相关性质和判别方法。

3.理解向量组的极大线性无关组和秩的概念，求向量组的极大线性无关组和秩。

4.理解向量组等价的概念以及矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系。

5.理解N维星空间、子空间、基底、维度、坐标的概念。

6.了解基变换和坐标变换的公式，求转换矩阵。

7.理解内积的概念，掌握线性无关向量组正交归一的施密特方法。

8.了解标准正交基和正交矩阵的概念及其性质。

第四章:线性方程组。

考试内容:

线性方程组的克莱姆法则齐次线性方程组有非零解的充要条件非齐次线性方程组有解的充要条件线性方程组解的性质和结构；齐次线性方程组的基本解系和一般解空间中非齐次线性方程组的一般解

考试要求

长度可以用克莱姆法则。

2.理解齐次线性方程组有非零解，非齐次线性方程组有解的充要条件。

3.了解齐次线性方程组的基本解系、通解、解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基本解系、通解的求解。

4.了解非齐次线性方程组解的结构和通解的概念。

5.掌握用初等行变换解线性方程组的方法。

第五章:矩阵的特征值和特征向量。

考试内容:

矩阵的特征值和特征向量的概念，性质相似变换，相似矩阵的概念和性质矩阵相似对角化的充要条件，相似对角矩阵的实对称矩阵的特征值、特征向量和相似对角矩阵。

考试要求:

1.理解一个矩阵的特征值和特征向量的概念和性质，你就会找到矩阵的特征值和特征向量。

2.了解相似矩阵的概念、性质以及矩阵相似对角化的充要条件，掌握矩阵化为相似对角矩阵的方法。

3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。

第六章:二次型

考试内容:

二次型及其矩阵表示合同变换和合同矩阵二次型的秩惯性定理。用正交变换和匹配法将二次型的标准形和标准形转化为标准二次型及其矩阵的正定性

考试要求:

1.掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变化和合同矩阵的概念，了解二次型的标准型和标准形的概念以及惯性定理。

2.掌握用正交变换化二次型为标准型的方法，能用匹配法化二次型为标准型。

3.了解正定二次型和正定矩阵的概念，掌握其判别方法。

概率与统计

第一章:随机事件和概率

考试内容:

随机事件与样本空间事件的关系及完全操作事件组概率概念概率的基本性质；古典概率几何概率条件概率的基本公式；

1.了解样本空间(基本事件空间)的概念，了解随机事件的概念，掌握事件的关系和运算。

2.理解概率和条件概率的概念，掌握概率的基本性质，计算古典概率和几何概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式。

3.理解事件独立性的概念，掌握具有事件独立性的概率计算；了解独立重复试验的概念，掌握相关事件概率的计算方法。

第二章:随机变量及其分布。

考试内容:

随机变量分布函数的概念和性质离散随机变量的概率分布连续随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布

考试要求:

1.理解随机变量的概念。了解分布函数。

将计算与随机变量相关的事件的概率。

2.了解离散随机变量的概念及其概率分布，掌握0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布及其应用。

3.理解泊松定理的结论和应用条件，用泊松分布近似表示二项分布。

4.理解连续型随机变量的概念及其概率密度，掌握均匀分布、正态分布和指数分布。

及其应用，其中参数为λ(λ>；0)的指数分布的概率密度为

5.求随机变量函数的分布。

第三章:多维随机变量及其分布。

考试内容:

多维随机变量及其分布二维离散随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二维连续随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度二维随机变量的独立性和无关性两个或两个以上简单函数的随机变量的分布。

考试要求:

1.了解多维随机变量的概念，了解多维随机变量分布的概念和性质，了解二维离散随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布；了解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度、条件密度，求二维随机变量相关事件的概率。

2.理解随机变量的独立性和无关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件。

3.掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，了解参数的概率意义。

4.会求两个随机变量的简单函数的分布，会求多个独立随机变量的简单函数的分布。