用压缩映射原理求极限
关键词:压缩映射原理极限递归序列
压缩映射原理是由著名的波兰数学家斯特凡·巴拿赫在1922年提出的。是整个分析科学中最常用的存在论，应用非常广泛，如隐函数的存在定理，微分方程解的存在唯一性等。这里主要研究压缩映射原理在数列极限中的应用。很多参考文献都谈到了这个应用。比如参考[1-3]。在前人的基础上，系统总结了压缩映射原理在一类递归数列极限中的应用，并进一步论证了其优越性。
1.基本概念和定理
为了结构的完整和叙述的方便，我们给出了文献中的几个概念和定理。
定义1.1< (x，ρ)是一个度量空间，T是从x到x的映射，如果有0
定理1.2(压缩映射原理)设(X，ρ)是完备的距离空间，T是从X到X的压缩映射，那么T在X上有唯一的不动点，即存在唯一的X？x，所以tx = X。
第1/3页
其实这两个结果对于一般实数R也成立，结果如下。
2.应用
类型1:直接应用定理类型
我们来看一道竞赛题。
因为压缩映射的原理很多教材都没有给出，很实用，所以可以在教学过程中补充，让有余力的同学自己查阅相关文献。这类题目常见于考研题和竞赛题。只要有迭代序列形式，就可以尝试用压缩映射原理来考虑。问题的关键是确定函数是否是压缩函数，一定要注意函数的定义域。我们可以把这类问题归纳如下。
类型2:首先转换，然后应用
虽然这类问题没有明显的迭代条件，但可以先考虑通常的方法，如单调有界定理、柯西收敛准则和压缩定理等等。还可以尝试弥补压缩映射原理的条件，可能会有意想不到的收获。以上例子是数列极限中常见的典型例子，但几乎所有的教学参考书都没有提到利用压缩映射原理解决这个问题。其实用这种方法解决上面的例子更简洁。数学分析中的很多问题，都是把已知条件和解原理的条件“结合”起来解决的。这种“结合”是一种技巧和策略，是数学分析中常见的解题策略，初学者需要仔细理解。
数列极限的求解方法有很多种，每种方法都有自己的要求和适用范围，需要灵活运用。压缩映射原理也不例外，应用时一定要注意条件的验证及其应用规范。