考研矩阵特征值的一道证明题？

你需要在要证明的不等式左边加上1/2。

反例很容易找到。你只需要取A作为二阶对角矩阵，对角元素分别是1和2。

取a+ib = 1，即a=1。

A+A '的特征值是2，4。显然你的结果是错误的！

让我证明给你看1/2 min u _ t

x表示a+ib的一个特征向量，即Ax=(a+ib)x，可以假设它的长度是1(如果不是1，就用两边除以它的长度)。

从现在开始，我们用b '来表示一个矩阵/向量的* * *轭转置，对于实矩阵来说，就是转置。

两边乘以x '得到x'Ax = (a+ib)。

取两边* * *轭，转置得到x'A' = (a-ib)x '，x乘右得到x'A'x = (a-ib)。

以上两个方程相加得到a = 1/2 * x' (a+a') x。

那么你只需要研究x' (a+a') X的最大值和最小值。

特征值的一些简单性质告诉你最小值是min u_t，最大值是max u _ t。

我也会证明给你看

A+A’与实矩阵相反，所以正交矩阵P的存在使得

A+A' = PSP '，其中S个时间和对角元素的对角矩阵是它的特征值。

而y = P'x，因为x是单位长度，所以y也是单位长度。

x '(a+a ')x = x ' p s p ' x = y ' sy = u_1*|y_1|^2+...+u_n*|y_n|^2

明显地

& gt=最大|y|^2 =最大