2014考研数学线生成知识点梳理
一.行列式和矩阵
第一章“行列式”和第二章“矩阵”是线性代数中的基础章节，需要熟练掌握。
行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式和抽象行列式的计算，其中具体行列式的计算有低阶和高阶两种；主要方法是应用行列式的性质，通过行列展开定理将其转化为上下三角行列式。对于抽象行列式的求值，考点不是找行列式，而是相关性质。矩阵部分比较灵活，常见的知识点有运算法则、运算性质、矩阵可逆的判定与求逆、矩阵秩的性质、初等矩阵的性质等。
二、向量和线性方程组
向量和线性方程组是整个线性代数的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视为讨论向量和线性方程组某些问题的基础章节；后两章的特征值、特征向量、二次型内容相对独立，可以看作是核心内容的拓展。
向量与线性方程组的内容密切相关，很多知识点之间存在着显性或隐性的关联。复习这两部分最有效的方法就是彻底理顺很多知识点之间的内在联系，因为这样做首先可以保证真正理解，也是掌握和灵活运用的前提。
解线性方程组可以看作是出发点和目标。线性方程(通式)
也有两种形式:(1)矩阵形式和(2)向量形式。
1)齐次线性方程组与线性相关和不相关。
齐次线性方程组可以直接看出一定有解，因为方程必须在所有变量为零时成立；证明了向量部分的一个性质“零向量可以用任意向量线性表示”。
齐次线性方程组必有解，可分为两种情况:①有零解；②存在非零解。当齐次线性方程组有零解时，意味着方程中的变量只能全为零才能使方程成立，而当齐次线性方程组有非零解时，有不全为零的变量才能使上述方程成立；但是判断向量组在向量部分是否线性相关的定义也是基于这个等式。所以这里有向量和线性方程组的联系:齐次线性方程组是否有非零解，系数矩阵的列向量组是否线性相关。可以想象，线性相关独立性的概念是为了更好地讨论线性方程组的问题而提出的。
2)齐次线性方程组的解与秩和的最大无关群之间的关系。
也可以认为引入秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关。秩的定义是“最大线性无关组中向量的个数”。通过“秩→线性相关不相关→线性方程组解的确定”的逻辑链，可以确定当列向量组线性相关时，齐次线性方程组有非零解，齐次线性方程组的解向量可以用R个线性无关的解向量线性表示(基本解系)。
3)非齐次线性方程组与线性表示的关系
一个非齐次线性方程组是否有解，对应的是一个向量是否可以用一组列向量线性表示，使方程成立的一组数就是该非齐次线性方程组的解。
三。特征值和特征向量
与前两章相比，本章不是线性代数的理论重点，但却是一个考试重点。原因是线生成中的大量内容需要解决相关问题——行列式、矩阵、线性方程组、线性相关，“牵一发而动全身”。本章的要点如下:
1.特征值和特征向量的定义和计算方法是记住一系列公式和性质。
2.相似矩阵及其性质，需要区分矩阵的相似性、等价性和契约性:
3.矩阵可对角化的条件同样包括两个充要条件和两个充分条件。充要条件1是n阶矩阵有n个线性无关的特征值；充要条件2是任意R重特征根对应R个线性无关的特征向量。
4.实对称矩阵及其相似对角化。n阶实对称矩阵必须与对角矩阵正交。
二次型
本章内容基本上是第五章“特征值与特征向量”的扩展，因为二次型化标准型的核心知识是“实对称矩阵A有一个正交矩阵C，使A可以相似对角化”，其过程就是上一章相似对角化的应用。
本章的要点如下:
1.二次型及其矩阵表示。
2.用正交变换将二次型化为标准型。
3.正定二次型的判断和证明。
附:
第一章行列式
1，行列式的定义
2.行列式的性质
3、特殊行列式的值
4.行列式展开定理
5.抽象行列式的计算
第二章矩阵
1，矩阵的定义和线性运算
2.增加
3.矩阵的幂
4.移项
5.逆矩阵的概念和性质
6.伴随矩阵
7、分块矩阵及其运算
8.矩阵的初等变换和初等矩阵
9.矩阵的等价
10，矩阵的秩
第三章载体
1，向量的概念及其运算
2.向量的线性组合和线性表示
3.等效向量组
4.向量组的线性相关与线性无关。
5.极大线性独立群和向量群的秩
6、内积和施密特正交化
7.n维向量空间(数学1)
第四章线性方程组
1，线性方程组的克莱姆法则
2.齐次线性方程有非零解的判据
3.非齐次线性方程解的存在性准则。
4.线性方程组解的结构
第五章矩阵的特征值和特征向量
1，矩阵的特征值和特征向量的概念和性质
2.相似矩阵的概念和性质。
3.矩阵的相似对角化
4.实对称矩阵的特征值、特征向量和相似对角矩阵。
第六章二次型
1，二次型及其矩阵表示
2.契约转换和契约矩阵
3.二次型的秩
4.二次型的标准型和标准型
5.惯性定理
6.用正交变换和匹配法化二次型为标准型。
7.正定二次型及其判定