数学考研的李亚普诺夫条件极限不是应该倾向于1吗？为什么是0？

中国数学家和力学家李亚普诺夫分析系统稳定性的理论是在1892年创立的。对于控制系统来说，稳定性是一个需要研究的基本问题。在线性时不变系统的研究中，许多判据，如代数稳定性判据和奈奎斯特稳定性判据，都被用来判定系统的稳定性。李亚普诺夫稳定性理论可以同时应用于分析线性和非线性系统、稳态系统和时变系统的稳定性，是一种更通用的稳定性分析方法。李亚普诺夫稳定理论主要指李亚普诺夫第二方法，也称为李亚普诺夫直接法。李雅普诺夫第二方法可以用于任意阶系统，不需要求解系统状态方程就可以直接判断稳定性。对于非线性系统和时变系统，状态方程的求解往往比较困难，因此李亚普诺夫第二种方法显示出很大的优越性。与第二种方法相对应的是李亚普诺夫第一种方法，也称为李亚普诺夫间接法，通过研究线性化状态方程的特征值分布来确定非线性系统的稳定性。第一种方法的影响远远小于第二种方法。在现代控制理论中，李亚普诺夫第二方法是研究稳定性的主要方法，它不仅是研究控制系统理论问题的基本工具，也是分析具体控制系统稳定性的常用方法。李雅普诺夫第二种方法的局限性在于需要相当的应用经验和技巧，给出的结论只是系统稳定或不稳定的充分条件；但是当其他方法无效时，这种方法也可以解决一些非线性系统的稳定性问题。发展概况自19结束以来，李亚普诺夫稳定性理论一直指导着稳定性的研究和应用。许多学者沿着李亚普诺夫开创的研究路线，在第二种方法上取得了一些新的进展。一方面，李亚普诺夫的第二种方法被推广到研究一般系统的稳定性。比如在1957，ви。祖博夫用李亚普诺夫方法研究了度量空间中不变集的稳定性。随后，J.P. Lassall等人研究了各种形式的抽象系统的李亚普诺夫稳定性。在这些研究中，对系统的描述并不局限于微分方程或差分方程，运动平衡状态已经用不变集表示，李亚普诺夫函数也在更一般的意义上定义。在1967中，D. Bushow建立了李亚普诺夫第二方法以在集合和映射的水平上刻画系统。此时，李亚普诺夫函数不在实数域中取值，而是在有序定义的半格中取值。另一方面，李亚普诺夫第二方法用于研究大系统或多级系统的稳定性。这时，李亚普诺夫函数被推广到矢量形式，称为矢量李亚普诺夫函数。这样就可以建立大系统稳定的充分条件。扰动运动和系统平衡态稳定性的实质是考察系统初始态扰动所引起的扰动运动能否接近或回到原来的平衡态。如果用x0表示初始状态扰动，则扰动运动是系统状态方程è= f(x，t)在初始时刻t0受x (t0) = x0扰动时的解。其中x是n维状态向量，f(x，t)是以x和时间t为自变量的n维非线性向量函数。在一定条件下，这个状态方程有唯一解。系统的扰动运动随时间t变化，其变化与初始扰动x0和作用时间t0直接相关，数学上表示为依赖于这些量的向量函数，记为φ(t；x0，t0).在以状态X的分量为坐标轴的状态空间中，随着时间t的增加，受扰运动φ(t；X0，t0)是从x0开始的轨迹。平衡态是系统相对静止时的运动状态，用xe表示。它的特点是对时间的导数始终等于零，这可以通过求解函数方程f(xe，T) = 0来确定。为了便于表示和分析，常将平衡点xe定义为状态空间的原点，这可以通过适当的坐标变换来实现。因此，李亚普诺夫的第二种方法可以归结为研究扰动运动轨迹相对于状态空间原点的稳定性。李亚普诺夫意义上的稳定是指系统平衡状态稳定或不稳定的标准。主要涉及稳定性、渐近稳定性、大范围渐近稳定性和不稳定性。①稳定性在状态空间中用S(ε)表示为以原点为中心，ε为半径的球面，S(δ)表示为另一个半径为δ的球面。如果对于每一个任意选取的域S(ε)，必然有一个对应的域S(δ)，其中δ < ε，这样，受扰运动φ(t；X0，t0)不穿越S(ε)域，所以原点平衡态xe = 0在李亚普诺夫意义下是稳定的。②渐近稳定性如果原点的平衡态在李亚普诺夫意义下是稳定的，扰动运动φ(t；X0，t0)收敛到平衡态xe=0，则称系统的平衡态是渐近稳定的。从实际的角度来看，渐近稳定性比稳定性更重要。在应用中，需要确定渐近稳定的最大范围，这可以在扰动运动渐近稳定的前提下，确定初始扰动x0的最大允许范围。③大范围渐近稳定性，也称全局渐近稳定性，是指受扰运动φ(t；X0，t0)是渐近稳定的。在控制工程中，总是希望系统在大范围内渐近稳定。系统全局渐近稳定的必要条件是在状态空间中只有一个平衡状态。④不稳定性如果有一个选定的球面S(ε)，无论球面S(δ)的半径有多小，球面S(δ)中总有至少一个点x0，使受扰运动轨迹从此状态离开球面S(ε)，那么系统原点平衡态Xe = 0就说是不稳定的。