用拉格朗日中值定理杀死一些复杂的极限问题
应用拉普拉斯中值求极限的核心:两个复合函数之差变成了内函数之差，相当于把原来两个复合函数的皮剥掉了(外函数f相当于皮)。这样就可以化繁为简，就是拉普拉斯中值。
什么情况下？
公式中有两个细节:a .复合函数差；b .外层功能一致。所以，如果这两个条件都满足了，就可以马上把拉普拉斯中值拿出来试一试。
怎么用？
做数学题的过程就是化繁为简，化未知为已知。先说第一点，拉普拉斯中值的本质，观察这个公式:
拉格朗日中值用于处理复合函数的差分。我们最后通过拉格朗日中值转换成右边的公式。如果能找到右边的公式，那么我们的工作就完成了，拉格朗日中值也完成了它的使命。
右式中的F'(x)，g(x)，h(x)都可以求出来或者求出来，但是参数比较尴尬。我们只知道一个参数范围，但具体数字不一定清楚。所以这里有一个关键问题，也是衡量拉普拉斯中值能不能顺利做的关键:参数做不做！
那么如何获取参数呢？一般来说有两种思路:a .夹点定理；b .等价于关于x的某个公式。
夹点定理:
我们知道参数ξ的一个范围，在g(x)和h(x)之间。假设g(x)≥ h(x)，那么有h(x) ≤ξ≤g(x)，是不是有点夹点定理？如果取极限后g(x)和h(x)相等，则参数ξ
你可以把它剪下来。
话不多说，言归正传，把这个思路完全弄明白:
在这个问题中，g(x)和h(x)都接近1，那么由夹点定理得到的参数ξ也接近1，然后直接带入f'(x)(代入后既不是∞也不是0)，那么这个极限就可以正常求解了。
于是有了这个方法:
适用范围:g(x)和h(x)都接近xo，而limx → z. F'(x)存在且不为0。
不适用范围:如果g(x)和h(x)都接近于0(或∞)，limz→0(或∞)f'(x)为∞或0，则pinching定理得到的参数值不再适用，可尝试使用方法b。
等价于关于x的一些公式:
适用于:当内函数趋近于0，且x→0时，f'(x)~mxk(其中m和k为非零常数)。
或者当内函数逼近∞，且x→∞，f(x)~mxk(其中m和k为非零常数)时。
以上条件看似很严格，但好在在考研极限题目中，基本都满足，本文选取的极限也是
是满足了。
所以作为一个隐性条件，在过程中是没有体现出来的。严谨的朋友在用这种方法求极限之前可以稍微判断一下。
补充两点:
1，对于级数的极限，也可以用拉普拉斯中值来求解，但是在使用之前需要将级数转化为函数，也就是说，
N → x，如此而已。
2.方法B及相应结论在计算一道小题时，可以很快得到答案；对于大题，可以用这种方法和结论快速判断是否可以使用拉普拉斯中值，同时也可以用这种方法快速检查自己的结果。如果要在大题中使用方法B，就要详细写出具体步骤(利用夹点定理)。