解决数学问题:用多元函数求极值

定义函数定义在一个点的某个邻域内，如果不同于该邻域的所有点都适合不等式。

据说这个函数在点有一个最大值。如果都适合不等式

那么就说这个函数在某一点上有最小值。最大值和最小值统称为极值。使函数获得极值的点称为极值点。

例1函数在点(0，0)处有最小值。因为对于点(0，0)邻域内任意一个不同于(0，0)的点，函数值都是正的，而点(0，0)处的函数值为零。从几何学上讲，这是显而易见的，因为点(0，0，0)是开口向上的椭圆抛物面的顶点。

例2该函数在点(0，0)有一个最大值。因为点(0，0)处的函数值为零，但对于点(0，0)邻域内任何一个不同于(0，0)的点，函数值都是负的，点(0，0，0)是平面下的圆锥的顶点。

示例3的函数在点(0，0)既没有获得最大值也没有获得最小值。因为点(0，0)处的函数值为零，所以在点(0，0)的任意邻域内总有使函数值为正的点和使函数值为负的点。

定理1(必要条件)如果函数在一点有偏导数，在一点有极值，那么它在该点的偏导数一定为零:

证书可以设置在有最大值的点上。根据最大值的定义，在一个点的某个邻域内所有互不相同的点都适合不等式。

特别是这个邻域的“和”的点，应该也适合不等式。

这表明一元函数在处获得最大值，因此它必须是。

同样可以证明

几何上，如果曲面在该点有一个切平面，那么这个切平面。

成为与坐标平面平行的平面。

根据定理1，有偏导数的函数的极值点一定是驻点。但是函数的驻点不一定是极值点。比如点(0，0)是函数的驻点，但是函数在这个点上没有值。

如何确定驻点是不是极值点？下面这个定理回答了这个问题。

定理2(充分条件)设函数在一点的某个邻域内连续且有一阶和二阶连续偏导数，设

获得极值的条件如下:

(1)有极值，有当时的最大值，有当时的最小值；

(2)不存在极值；

(3)可能有也可能没有极值，需要单独讨论。

这个定理现在没有证明。利用定理1和2，我们将具有二阶连续偏导数的函数的极值的解描述如下: