2003考研数学4答案

Lim g (x)/x = lim g' (x) = f (0)，所以假设广义积分中x = 0不是亏量。

另外，lim G2(x)/x = lim 2gg '(x)= 2g(0)* g '(0)= 0。

因此，对于任何X & gt0，是

Integral(从0到x) g (x)/x 2dx = integral(从0到x) g 2 (x) d (-1/x)

=-g 2 (x)/x |上限X下限0+积分(从0到X)2g(x)g'(x)/xdx

因为-g 2 (x)/x

& lt=2整数(从0到X)g(x)/x *f(x) dx

由柯西-施瓦茨不等式可知

& lt=2积分(从0到x) g 2 (x)/x 2dx (1/2) *积分(从0到x) f 2 (x) dx (1/2)

为了解决这种不平等

积分(从0到x) g 2 (x)/x 2dx < =4积分(从0到x) f 2 (x) dx，

于是广义积分收敛，不等式成立。