什么是高等数学A？

中科院研究生入学考试有A级和B级，其中A级要求最高。

中国科学院研究生院考研

高等数学(一)考试大纲

第一，考试的性质

中国科学院研究生院研究生高等数学(A)考试是招收理科非数学专业研究生的选拔性考试。其主要目的是测试学生的数学素质，包括对高等数学各种内容的掌握和应用相关知识解决问题的能力。考试对象为参加全国硕士研究生入学考试，报考理论物理、原子与分子物理、粒子物理与核物理、等离子体物理、凝聚态物理、天体物理、天体测量与天体力学、空间物理、光学、物理电子学、微电子与固体电子学、电磁场与微波技术、物理海洋学、海洋地质学、气候学等专业的考生。

二、考试的基本要求

要求考生系统了解高等数学的基本概念和理论，掌握高等数学的基本方法。要求考生具备抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。

三、考试方式和时间

高等数学(A)考试采取闭卷笔试形式，满分150，考试时间180分钟。

四。考试内容和要求

(1)函数、极限和连续性

考试内容

函数的概念和表示；函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；复合函数、反函数、分段函数和隐函数的基本初等函数的性质和图形。

数列极限和函数极限的概念无穷小和无穷小的概念及其关系无穷小的性质和无穷小的四个运算极限是单调有界判别法和夹点判别法。两个重要的极限函数是连续的。初等函数间断点的类型闭区间上性质函数的一致连续性概念。

考试要求

1.理解函数的概念，掌握函数的表示，建立简单应用题中的函数关系。

2.理解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。掌握判断函数这些性质的方法。

3.理解复合函数的概念以及反函数和隐函数的概念。会求给定函数的复合函数和反函数。

4.掌握基本初等函数的性质和图形。

5.了解极限的概念，函数的左极限和右极限的概念，函数极限的存在性与左右极限的关系。

6.掌握极限的性质和四种算法，并利用它们进行一些基本的判断和计算。

7.掌握极限存在的两个判据，并用它们求极限。掌握利用两个重要极限求极限的方法。

8.理解无穷小和无穷的概念，掌握无穷小的比较方法，用等价无穷小求极限。

9.理解函数连续(包括左连续和右连续)的概念，会区分函数不连续点的类型。

10.掌握连续函数的运算性质和初等函数的连续性，熟悉闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值定理、中值定理等。)，并应用这些属性。

11.理解函数一致连续的概念。

(B)一元函数的微分学

考试内容

导数的概念导数的几何意义与物理意义的关系函数的可导性和连续性切线和法线的导数的四则运算平面曲线的基本初等函数复合函数，反函数， 隐函数的求导由参数方程确定的函数的求导高阶求导的概念高阶求导的概念及微分的几何意义可微性与可导性之间的微分关系微分函数的算法及一阶微分形式的不变微分在近似计算中的应用洛必达定律泰勒(Taylor))公式函数的最大值与最小值、单调性函数图形的凹凸性、拐点与渐近线函数图形、弧微分与曲率计算。

考试要求

1.了解导数和微分的概念，了解导数和微分的关系，了解导数的几何意义，求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，用导数描述一些物理量，掌握函数可导性和连续性的关系。

2.掌握导数的四种算法和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的求导公式。知道了微分的四种算法和一阶微分形式的不变性，就可以求出函数的微分。

3.如果你理解高阶导数的概念，你会发现一个简单函数的n阶导数。

4.求分段函数的一阶和二阶导数。

5.求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶和二阶导数。

6.求反函数的导数。

7.理解并运用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒定理。

8.理解函数极值的概念，掌握判断函数单调性和用导数求函数极值的方法，掌握求函数最大值和最小值的方法及其简单应用。

9.我们可以通过导数来判断函数图的凹凸性，找到函数图的拐点和水平、垂直、斜渐近线，对函数图进行描述。

10.掌握用洛必达定律求未定式极限的方法。

11.理解曲率和曲率半径的概念，计算曲率和曲率半径。

(3)一元函数的积分

考试内容

原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质定积分公式的概念和基本性质定积分的中值定理可变上限定积分及其导数定义的函数牛顿-莱布尼茨公式不定积分和定积分的换元积分法和分部积分有理函数和三角函数的有理公式以及积分的应用广义积分(无穷积分，亏积分)简单无理函数的定积分。

考试要求

1.理解原函数的概念和不定积分、定积分的概念。

2.掌握不定积分的基本公式，不定积分和定积分的性质以及定积分的中值定理。掌握牛顿-莱布尼茨公式。精通不定积分、定积分、分部积分的代换积分法。

3.能求有理函数的积分，三角函数的有理公式，简单无理函数。

4.理解变上限定积分定义的函数，求其导数。

5.了解广义积分(无穷积分、亏损积分)的概念，掌握无穷积分、亏损积分的收敛判断方法，计算一些简单的广义积分。

6.掌握一些几何量和物理量(平面图形的面积，平面曲线的弧长，旋转体的体积和侧面积，已知三维体积、功、重力、压力的截面积)和函数的平均值用定积分的表示和计算。

(D)向量代数和空间解析几何

考试内容

向量的概念向量的线性运算向量的量积、叉积和混合积垂直平行的条件；两个向量的夹角向量及其运算单位向量的方向数和方向余弦曲面方程和空间曲线方程的概念平面方程，直线方程的平面对平面，平面对直线，直线对直线的夹角和平行度，垂直条件点与平面和直线的距离；以球面母线平行于坐标轴，以圆柱旋转轴为坐标轴的旋转曲面方程；常用的二次方程及其图形空间曲线的参数方程和一般方程空间曲线在坐标平面上的投影曲线方程。

考试要求

1.熟悉空间直角坐标系，了解向量及其模的概念。

2.熟悉向量运算(线性运算、量积、叉积)，掌握两向量垂直平行的条件。

3.了解向量在轴上的投影，了解投影定理和投影运算。理解方向数、方向余弦、向量的坐标表达式，利用坐标表达式计算向量。

4.熟悉平面方程和空间线性方程的各种形式，熟练掌握平面方程和空间线性方程的求解。

5.会求平面、平面与直线、直线之间的角度，会利用平面与直线的关系(平行、垂直、相交等。)来解决相关问题。

6.会求空间两点间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离。

7.理解空间曲线方程和曲面方程的概念。

8.了解空间曲线的参数方程和一般方程。理解空间曲线在坐标平面上的投影，求其方程。

9.了解常用二次曲面的方程、图形和截面，可以找到以坐标轴为旋转轴，母线平行于坐标轴的旋转曲面的柱面方程。

(5)多元函数微分学

考试内容

多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数的极限及多元连续函数在连续有界闭区域上的性质，多元函数的偏导数和全微分的概念及多元复合函数全微分存在的充要条件，隐函数的求导；高阶偏导数的求解；空间曲线和法向平面曲面的切导数和法向导数；梯度二元函数的泰勒公式；多元函数的极值和条件极值；拉格朗日乘数法；多元函数的最大值和最小值及其简单应用:全微分在近似计算中的应用。

考试要求

1.了解多元函数的概念和二元函数的几何意义。

2.了解二元函数极限和连续的概念及其基本运算性质，二元函数重复极限与极限的关系，将判断二元函数在已知点极限的存在性和连续性，了解连续函数在有界闭区域的性质。

3.了解多元函数的偏导数和全微分的概念，了解二元函数的可微性、存在性和连续性的关系，求偏导数和全微分，了解二元函数的两个混合偏导数相等的条件，了解全微分存在的充要条件，了解全微分形式的不变性。

4.掌握多元复合函数偏导数的求解。

5.掌握隐函数的求导规则。

6.理解方向导数和梯度的概念，掌握它们的计算方法。

7.理解曲线的切线和法平面以及曲面的切线和法平面的概念，并求出它们的方程。

8.了解二元函数的二阶泰勒公式。

9.了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值的必要条件，了解二元函数极值的充分条件，求二元函数极值，用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。

10.理解全微分在近似计算中的应用

(6)多元函数积分学

考试内容

二重积分和三重积分的概念和性质，二重积分和三重积分的计算和应用，两类曲线积分关系的概念、性质和计算，格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件，两类曲面积分的概念和性质，两类曲面积分关系的计算都是已知的，高斯公式、斯托克斯公式、散度和旋度的概念以及计算曲线积分和曲面积分的应用也都是已知的。

考试要求

1.理解二重积分和三重积分的概念，掌握二重积分的性质。

2.熟悉二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，能计算三重积分(直角坐标、柱坐标、球坐标)，掌握二重积分的换元法。

3.理解两类曲线积分的概念、性质和关系。精通两类曲线积分的计算。

4.熟练掌握格林公式，会用它求曲线积分。掌握平面曲线积分与路径无关的条件。会求全微分的原函数。

5.理解两类曲面积分的概念、性质和关系。熟练掌握两类曲面积分的计算方法。

6.掌握高斯公式和斯托克斯公式，并用它们计算曲面积分和曲线积分。

7.引入并计算了溶解和旋度的概念。

8.理解含参变量积分和莱布尼兹公式。

9.我们可以用多重积分、曲线积分、曲面积分求一些几何物理量(平面图形的面积、曲面的面积、物体的体积、曲线的弧长、质量、重心、惯性矩、重力、物体的功、流量等。).

(7)无穷级数

考试内容

常数级数及其敛散性概念收敛级数和概念级数收敛的基本性质和必要条件；几何级数和P级数的收敛性及其收敛正项级数的判别：交错级数的绝对收敛和条件收敛与莱布尼兹定理:函数级数的收敛域；和函数的概念幂级数及其收敛半径:收敛区间(指开区间)的基本性质及其收敛区间内的收敛域幂级数；简单幂级数和函数的求解:泰勒级数初等函数的幂级数展开在近似计算中的应用:函数的傅立叶系数和傅立叶级数的狄利克雷定理:[-l，l]上傅里叶级数函数的正弦级数和余弦级数。函数项级数的一致收敛性。

考试要求

1.了解收敛的常数项级数的敛散性、和的概念，掌握级数的基本性质和收敛的必要条件。

2.掌握几何级数和P级数的敛散性。

3.掌握正项级数敛散性的各种判断方法。

4.掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

5.了解任意级数的绝对收敛和条件收敛的概念，以及绝对收敛和条件收敛的关系。

6.了解函数项级数的收敛域和和函数的概念。

7.理解幂级数收敛域和收敛半径的概念，掌握幂级数收敛半径和收敛域的求解。

8.知道了幂级数在其收敛区间内的一些基本性质(和函数的连续性，逐项微分，逐项积分)，我们就会求出一些幂级数在其收敛区间内的和函数，进而求出一些数列的和。

9.理解函数展开成泰勒级数的充要条件。

10.掌握ex、sin x、cos x、ln(1+x)和(1+x)α等一些常见函数的maclaurin展开式，并利用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

11.将利用函数的幂级数展开进行近似计算。

12.理解傅立叶级数的概念和狄利克雷定理，将定义在[-l，l]上的函数展开成傅立叶级数，定义在[0，l]上的函数展开成正弦级数和余弦级数，周期为2l的函数展开成傅立叶级数。

13.知道函数项级数的一致收敛性及其性质，就能判断函数项级数的一致收敛性。

(8)常微分方程

考试内容

常微分方程的基本概念齐次微分方程一阶线性微分方程伯努利方程全微分方程一些可用简单变量代换求解的微分方程高阶线性微分方程解的性质和结构定理二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程高于其他微分方程。某些二阶常系数齐次线性微分方程欧拉方程幂级数解微分方程简单解常系数线性微分方程简单应用微分方程

考试要求

1.掌握微分方程及其阶、解、通解、初始条件、特解的概念。

2.熟练掌握变量可分离的微分方程的解法和求解一阶线性微分方程的常数变易法。

3.我会解齐次微分方程，伯努利方程，全微分方程，会用简单变量解一些微分方程。

4.以下方程将用降阶法求解:y(n)=f(x)，y "= f (x，y ')，y" = f (y，y ')。

5.了解线性微分方程解的性质，解的结构定理。了解解二阶非齐次线性微分方程的常数变易法。

6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的求解，能解一些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

7.能用多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数及其和与积求解二阶常系数非齐次线性微分方程。

8.可以解欧拉方程。

9.了解微分方程的幂级数解。

10.了解简单的常系数线性微分方程的解法。

11会用微分方程解决一些简单的应用问题。

动词 （verb的缩写）主要参考文献

《高等数学》(上册、下册)，同济大学数学教研室编，高等教育出版社，第四版，1996，任何后续版本均可。

编制单位:中国科学院研究生院。

编制日期:2011 7月1。