数学的意义。

1.数学是人类探索世界和研究自然界任何事物的核心。

2.数学催生了物理、化学、生物，数学不断推动着人类的发展；

3.数学是公理和约定俗成的支点。有了数学，研究才能继续；

4.数学推导出二维，三维，高维，这些都是这些东西存在的基础。

一、中学数学有什么用？

1，初中数学学什么？

我们以现行的初中数学教材(63体系)为例:

七年级(一):有理数；代数表达式的加法和减法；一维线性方程；初步几何；

7级(以下):相交线、平行线；实数；平面直角坐标系；二元线性方程；不平等和不平等群体；数据的收集、整理和描述；

8年级(一):三角形；全等三角形；轴对称；代数表达式乘法和因式分解:分数；

八年级(二):二次根式；勾股定理；平行四边形；线性函数；数据分析；

九年级(一):一个二次方程；二次函数；旋转；圆形；初步概率；

九年级(以下):反比例函数；类似；锐角三角函数；投影和视图。

这六本书的内容其实可以根据研究内容重新整理成三个模块。

代数模块:有理数；代数表达式的加法和减法；一维线性方程；实数；平面直角坐标系；二元线性方程；不平等和不平等群体；代数表达式乘法和因式分解:分数；二次根式；线性函数；一维二次方程；二次函数；反比例函数。

几何模块:初步几何、相贯线、平行线；三角形；全等三角形；轴对称；勾股定理；平行四边形；旋转；圆形；类似；锐角三角函数；投影和视图。

统计模块:数据收集、整理和描述；数据分析；可能性是初步的

数学难度突然增加一般是在初中第二学期。这一时期无论是几何证明还是代数化简，解题对模式识别和技巧的要求都很高，学生需要一定的训练，枯燥无味；同时也需要一些观察。正是在这个阶段，成绩拉开，很多学生对数学失去了兴趣。

2.高中数学学什么？

原版新课标高中教材:

必修部分:

必修1:套；函数(概念、性质、线性函数、二次函数)；基本初等函数I(指数函数、对数函数和幂函数)

必修2:初步立体几何(空间几何、位置关系)；初步解析几何(平面笛卡尔坐标系、线性方程、圆方程、空间笛卡尔坐标系)

必修3:初步算法；统计；概率；可能性

必修4:基础初等函数二(三角函数)；平面向量；角度转换公式

必修五:解三角形；序列；不平等

选修课1系列(文科):

选修课1-1:常用逻辑术语；圆锥曲线和方程式；导数及其应用

选修课1-2:统计案例、推理与证明、数系展开与复数介绍、框图。

选修2系列(科学):

选修课2-1:常用逻辑术语、圆锥曲线与方程、空间向量、立体几何。

选修2-2:导数及其应用，推理与证明，数系与复数的推广

选修2-3:计数原理、概率和统计案例

其他选修课

3-1数学史、3-3球面几何、3-4对称性与群论、4-1几何证明选讲、4-2矩阵与变换、4-4坐标系与参数方程、4-5不等式选讲、4-6初等数论、4-7最优化方法与实验设计、4-9

很多省份的高考题都是从4-1几何证明、4-4坐标系与参数方程、4-5不等式三个部分选取的。应该说比较适合大学高等数学的学习，但是没有选矩阵还是有点遗憾。

新课标高中新教材

强制版本一* * *两卷:

第一册:集合和常用逻辑术语；一元二次函数、方程和不等式；函数的概念和性质；指数函数和对数函数；三角函数

第二卷:平面向量及其应用；复数；立体几何的初步研究:统计；概率；可能性

强制性版本b * * *四卷:

第一册:集合和常用逻辑术语；平等与不平等；功能；

卷二:指数函数、对数函数、幂函数；统计与概率；平面矢量初步

第三卷:三角函数；向量的量积和三角恒等式变换；

卷四:解三角形；复数；立体几何的初步研究

可选必修* * *三卷:

第一卷:空间矢量和立体几何；直线和圆的方程；圆锥曲线方程

第二卷:序列；一元函数的导数及其应用

第三卷:计数原理；随机变量及其分布；配对数据的统计分析

综上所述，高中内容也可以大致归纳为三个模块:

函数与代数模块:集合与常用逻辑术语；函数的概念和性质；初等函数(指数函数、对数函数、幂函数、三角函数包括三角恒等式变换)；平面向量(平面向量的初步，向量的定量积，三角解)；平等与不平等；序列；一元函数的导数及其应用

几何模块:1)立体几何-空间几何；空间位置关系；空间矢量和立体几何；2)解析几何——直角坐标系；直线和圆的方程；圆锥曲线方程

概率统计模块:统计与概率(数据收集、特征与表示、样本估计总体；随机事件和独立性，经典概率)；计数原理(排列组合、二项式)；随机变量及其分布(随机变量和条件概率)；配对数据的统计分析(相关和回归)

3.中学课程与大学课程的联系:

根据研究对象的不同，数学可以分为四个简单的部分:

代数的研究对象是代数结构和算法；

几何学的研究对象是图形属性和空间关系的变化；

分析的研究对象是函数的性质，即变量之间的关系；

数论的研究对象是整数的性质。

之所以不准确，是因为作为一个范畴，数学的各个部分之间联系紧密，各个专业领域相互借鉴的经验很多，很难严格区分。比如初中数学中的函数图像，高中数学中的三角函数、解析几何、向量就是这方面的典型表现。

一般来说，如果你不是学数学的大学生，本科阶段最重要的数学课程是高等数学、线性代数、概率论和数理统计，这也是考研数学的主要内容。高等数学属于分析的范畴，线性代数属于代数的范畴，概率论和数理统计属于应用数学的范畴，但都需要分析工具和代数工具。几何和数论一般只有数学系和少数专业学习。

中学数学知识是学习大学数学知识的基础，是学习中学数学的意义所在。我来梳理一下中学数学知识和它们如何形成大学数学学习基础的关系。

先说代数和分析:

小学的时候我们做的计算题都是数的运算，结果是一个数，所以我们都学了数的算术。到了小学高年级，我们开始学习用字母来表示数字，这叫代数式。

《代数学》由晚清数学家李译介到中国，取其“以字代数学”之意。代数表达式是语言系统的一种转换。我们可以这样构造公式，推广运算，得到一般解。当面对一个具体的问题时，把一个具体的数代入公式就可以解决问题；代数研究的目的是寻找通解。公元820年，波斯数学家华拉·墨子出版了代数领域的专著，阐述了第一、第二方程的通解，明确提出了代数中的一些基本概念，将代数发展成为一门可与几何相媲美的独立学科。在书名中首次使用了Al jabr，意为“重新整合”，即移动物品，合并类似物品。翻译成拉丁文后变成了代数，后来进入了英语。这是“代数”一词的词源学意义

代数表达式引入后，出现了数系的扩张。随着数字处理越来越复杂，加减乘除四则运算无法得到自然数的结果。A-B(一

然后开始学习代数式的加减乘除(带字母不带分母的代数式，包括单项式和多项式)，学习代数式乘法的逆运算——因式分解，即如何将一个复数多项式转化为一个简单的多项式乘法；而且从另一条主线，我们也学习了整个方程，也就是一维线性方程，二维线性方程，不等式。代数式也可以做除法，变成分数，他也可以做分数方程。但是在解一元二次方程的时候，我们遇到了根的问题。这个运算不同于四则运算，结果不一定是有理数，所以我们接受了无理数的存在，把数系推广到了实数。开方运算中有一些特殊的算术规律，比如负数不能平方，代数中也要遵守这个规律，这就是开方。有了这些基础，一元二次方程的问题就可以解决了，我们得到了一元二次方程的通解——求根公式。

在学习了基本运算(加减乘除开方)和方程之后，引入函数，引入函数之后，数学的语言体系又上了一个新的台阶。分析的主要任务是研究和应用函数。函数作为现代数学中最重要的概念，其重要性怎么强调都不为过。世界上的事物一般都是有联系的，但是传统的自然哲学对这种联系进行了定性的分析:比如用火加热，水的温度就会上升；力越大，弹簧拉伸得越长；而现代科学需要对这种关系进行定量分析，找到关系的普遍规律，这就需要使用函数工具。初中物理中的公式Q=Cm(T2-T1)，弹簧力中的公式N=k(x-x0)，高中物理中的公式F=GMm/r2，本质上都是这种借助函数工具进行量化研究的产物。函数是中学数学的核心知识。中学函数的应用基本上是在解方程和不等式上，而高中数学除了一些几何和统计知识外，几乎全部是以函数论为基础的。

高中数学先介绍集合语言，导致后来的函数定义。集合论是现代数学所有分支的基石，但在高中数学中几乎用不到，只需要能够进行简单的集合运算即可。然后是函数的一般性质，如单调性、奇偶性，初等函数(指数函数、对数函数、幂函数、三角函数)的特殊性质以及一个以正整数为自变量、实数为因变量的特殊函数——数列，即实数。三角函数引出平面向量，其算法所反映的向量代数也是数学语言的一大飞跃:我们发现不仅可以运算数字和代数，还可以运算有序的数字和代数。然后就是不平等。你可能会奇怪为什么要学这么复杂的不等式，但是当你在大学学习真正的数学分析时，你就会知道不等式证明技巧是学习数学分析必不可少的技能。打好基础后，开始学习极限和导数，高中数学戛然而止。函数、数列、不等式、导数是高中数学最难的部分，也是高等数学的基础。高考最后一道题基本都是函数、数列、不等式、导数的综合应用。

在大学里，这部分的内容是著名的高等数学，大部分是微积分。数学专业学习数学分析，就是用更严谨的论证体系学习微积分。但无论是高数还是分数，所研究的函数都是比较直观的，基本都是连续函数，或者说黎曼可积函数。而不满足上述条件的实函数需要基于集合论、测度论、勒贝格积分的实变函数理论来研究。另一方面，函数的变量不都是实数。如果变量是复数，就要用复变函数或复分析的学科来研究。除了数字，自变量也可以是函数。函数的函数叫泛函，研究泛函和无限维空间变换的理论叫泛函分析，是比实分析和复分析更抽象的数学。另外，微积分也可以用在方程中，研究如何求解含有微积分的方程的领域叫微分方程。其中研究一个函数的微积分叫常微分方程，研究多个函数的微积分叫偏微分方程。分析领域的所有学科都与理论物理的学习和研究密切相关。

高中的平面向量和空间向量，主要作用是为解三角形和立体几何证明打基础，从应用的角度看作为几何模块更合适。学完平面向量和空间向量，中学代数的内容戛然而止。当我到达大学的时候，线性方程又回到了我的视野中。因为一次函数的像是一条直线，所以线性方程组也叫线性方程组，线性代数就是从研究线性方程组的通解开始的。利用N元向量、矩阵和行列式，最终得到线性方程组的通解——克莱默法则(但后来我们会知道，行列式的计算非常复杂，克莱默法则远不如高斯消元法有用。线性代数和高等代数只是把线性方程组作为一个引子，引出线性空间的核心，这个解线性方程组的任务交给了计算数学的数值代数课程)。同时，我们运算的对象也扩展到向量和矩阵；我们发现这些操作非常相似，具有相似的结构。数学家进一步把它们抽象到线性空间，把研究线性空间的性质和变换作为线性代数的主要任务。我们能直观感受到的三维空间是线性空间的一种特殊形式。为了研究这种特殊形式，引入双线性函数和二次型，得到内积运算，进而将线性空间特化为度量空间，使线性空间理论可以用于几何研究或解决实际问题。线性空间是代数最简单的研究对象，此外，代数的研究对象还包括群、环、域等。研究这些对象及其性质的后续课程称为抽象代数或近世代数。需要用抽象代数的知识来证明初中几何中的三个不可模式化的问题:角三分、立方积、化圆为方。高中选修3-4对称与群，4-2矩阵与变换，分别对应群论(抽象代数部分)和矩阵代数(线性代数简单部分)。你可以在空闲时间阅读它们。

那我们来说说几何:

几何的英文单词是Geometry，Geo-是“地球”的词根，而-measurement是“测量”的词根。几何直接就是“土地勘测”的意思。几何学起源于古埃及，因为埃及的尼罗河每年都会周期性泛滥，带来大量肥沃的土壤，但土地的边界也会被冲走。所以古埃及人每年都要重新丈量土地，在长期实践中总结出来的丈量技术也逐渐发展成了最初的几何。