曲线积分考研

多元函数积分有两种对称:宇称对称和旋转对称。这些对称性适用于二重积分、三重积分、第一类曲线积分和第一类曲面积分。

我们以三重积分的对称性和第一类曲面积分为例。二重积分类似于第一类曲线积分。

1，宇称对称原理

当积分区域关于xOy平面对称时，可以考察Z的奇偶性。

当积分区域关于xOz平面对称时，可以考察y的奇偶性；

当积分区域关于yOz平面对称时，可以考察x的奇偶性；

比如这个问题的积分面积是一个球面。显然以上三项都满足了，所以可以看到任何变量的奇偶性。xy是关于X的奇函数，关于Y的奇函数，所以可以知道无论X还是Y，积分结果都是0；Xz和yz的处理方式相似。

2.旋转对称原理

当积分区域中x，y，z三个字母(或其中两个)旋转时，如果区域不变，则得出被积函数中的x，y，z也可以相应旋转。

比如这个问题的积分面积是一个球面。很明显，这个球体在X，Y，Z旋转后没有变化，所以得出结论

∫ f(x，y，z)dS =∫f(y，z，x)dS =∫f(z，x，y)dS

这也引出了一个问题:∫∫ x？dS=∫∫ y？dS=∫∫ z？DS这个结论。

再比如，如果在题目中的积分曲面上加一个条件:x？+y？+z？=R？，z≥0

此时我们可以看到，如果旋转x，y，z，这个曲面就会发生变化，所以上面的结论就不成立。

但是需要注意的是，由于x和y交换后曲面没有变化，∫∫ x？dS=∫∫ y？DS仍然有效。

最后提醒一下，以上结论对第二类曲线积分和第二类曲面积分都不成立。

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