考研通用积分背诵

∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy=(0,π/2)∫dθ(0,√2r)∫e(-r^2)rdr=π/4*[1-e^(-2r^2)]

积分区域D2:边长为r的1/4圆

∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy=(0,π/2)∫dθ(0,r)∫e(-r^2)rdr=π/4*[1-e^(-r^2)]

积分区域d:边长为r的正方形

(外圆是半径为√2R的圆，然后被正方形包围，正方形被半径为r的圆包围)

∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy=(0,r)∫e(-x^2)dx(0,r)∫e(-y^2)dy

=[(0,R)∫e(-x^2)dx]^2

所以显然是有的

(d2)∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy<；(d)∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy<；(D1)∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy

也就是π/4 * [1-e (-r 2)

夹点准则，R→+∞

林[(0,r)∫e(-x^2)dx]^2=[(0,+∞)∫e(-x^2)dx]^2]^2=π/4

所以(0，+∞) ∫ e (-x 2) dx = √ π/2。

或者不太严格的方法

积分面积是整个平面。

∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy=[(0,+∞)∫e(-x^2)dx]^2=(0,π/2)∫dθ(0,+∞)∫e(-r^2)rdr=π/4

(0,+∞)∫e(-x^2)dx=√π/2