考研导数定理的证明
[ f(x)-f(0) ] / (x-0) = f(x)/x，
这个比值等于1/q，如果x是有理数；等于0，如果x是无理数。当X无限趋近于0时，如果X都是有理数，因为每个有理数都是以p/q的形式表示的，所以要趋近于0，Q必须趋近于无穷大。此时f(x)/x = 1/q趋于零，也就是上面说的导数为零。如果所有的x都用无理数逼近，因为f(x)总是零，那么上述比值的极限自然也是零。所以不管怎么趋近于零，上面的比值总会趋近于零，所以函数可以在0求导，导数为零。
同时，这个函数在所有非零有理点处都是不连续的，0的任何一个域都必然包含非零有理点，所以这个函数在0的任何一个邻域内都不能说是导数。所以点可导和邻域可导并不等价于这个函数:它在0点可导，但不在0的邻域可导。这并不违背可导性必须连续的常识，因为这个常识意味着，如果在某一点可导，则在某一点连续；如果邻域是可微的，那么邻域是连续的。这个函数在x=0时确实是连续的。你可以自己验证一下。
函数可以在一个邻域内导出，这当然意味着函数必须定义在这个邻域内的所有点上。
2.这也是上面的例子解决的。意义不一样。f(x)在x=0处是连续的，但在0的任何一个邻域内都不是连续的，无论是大还是小，因为在这个邻域内总会找到一个不连续点。
3.这个也不一样。如果导函数是连续的，那么这两个显然是相等的。问题是导函数是不连续的。为了区分这一点，我们必须记住定义。如果定义不明确，以后做什么都没用。设置
F(x) = 1，如果x
这是一个分段函数，在0处明显不连续。但是我们还是可以根据定义找到零点的导数，右极限，右导数:
1)衍生权利限制:
x & gt0，导函数为f'(x) = 3，所以取极限:
Lim (x从大于0趋向于0)f '(x)= 3；
2)右导数:
严格按照导数的定义，正确的导数是:
Lim (x从大于0趋向于0) [f(x)-f(0)]/(x-0)
= lim (x从大于0趋向于0) [3x-1]/(x-0)(注意大于0时f(x) = 3x，但第一段必须代入f(0)。
=无穷大
所以导数的右极限不等于右导数。虽然99%的考研题不会涉及到这么细微的差别，很多人也喜欢先求导再取数，但是还是要知道这是有条件的。像这里，如果你先推导f'(x) = 3，然后代入x=0，然后说0处的右导数是3，显然是错误的。
4.说条件，条件就来了。这个定理告诉你，想象一下求一个点的导数这么容易？一个条件是函数在这一点上必须是连续的。其实这个直觉很简单。什么时候导数和导数极限不一样？根据定义，只有当x接近x0时，连接(x，f(x))和(x0，f(x0))的直线斜率突然发生较大变化时，才会出现这种情况。而如果函数在这一点是连续的，那么无论你怎么画这条直线，它的斜率的极限都会逐渐逼近这一点的导数。另一方面，和上面的例子一样，函数在0处是不连续的，所以你可以在0右边的点和(0，f(0))之间画一条线。当X从右边接近0时，直线变得越来越垂直，这意味着斜率突然变化很大，因为函数在0处是不连续的:函数值跳跃，导致直线斜率的跳跃，所以导函数的极限不变。如果f(0)=0，函数值不跳，那么斜率自然不会跳，导数=3正好等于导数的极限。
5.端点连续性当然有意义，怎么可能没有意义？端点连续是指存在单边极限，这是定义和判断:左端点连续等价于左端点函数值等于函数的右极限，右端点连续等价于右端点函数值等于函数的左极限。
至于端点可微的定义，也是一样的。只是我们习惯说在邻域内可导，而不是闭区间。如果函数在闭区间上可微，更不用说在开区间上可微。一般来说，作为数学定理，我们都希望用尽可能少的条件得出尽可能多的结论。既然开区间可导就足以得出我们需要的结果，为什么还要把条件设置得更强闭区间可导呢？
记住，讨论一个点的可导性，只要这个点在函数定义域内部，而不是端点，或者讨论在完全邻域内可导；若该点为终点，则讨论单边邻域的可导性，即左导数或右导数。