微积分定积分

解:求∫(0，x？)√(1+t？)dt和∫(x，2)t？xos(2t)dt的不定积分(∩(a，b)表示从a到b的积分)。

设t=tanα，则dt=sec？αdα，sinα=√[t/(1+t？)]，cosα=1/√(1+t？)

∴∫√ (1+t？)dt =∫秒？αdα

=∫d(sinα)/(1-sin？α)?

=(1/4)∫[1/(1+sinα)+1/(1+sinα)？+1/(1-sinα)+1/(1-sinα)？]d(信号α)

=(1/4)[ln(1+sinα)-1/(1+sinα)-ln(1-sinα)-1/(1-)

=(1/4)[ln |(1+sinα)/(1-sinα)|-2/cos？α]+C

=(1/2)[ln |(1+sinα)/cosα|-1/cos？α]+C

=(1/2)[ln|√(1+t？)+√t|-t？-1]+C；

∴不定积分∫t？xos(2t)dt=(t？/2)sin(2t)-∫tsin(2t)dt(应用部分积分)

=(t？/2)sin(2t)+(t/2)cos(2t)-(1/2)∫cos(2t)dt(应用部分积分)

=(t？/2)sin(2t)+(t/2)cos(2t)-(1/4)sin(2t)+c(c为整数常数)

所以∫(0，x？)√(1+t？)dt=(1/2)[ln|√(1+t？)+√t|-t？-1]|(0，x？)

={ln[√(1+x^4)+x]-x^4}/2；

∫(x，2)t？xos(2t)dt=[(t？/2)sin(2t)+(t/2)cos(2t)-(1/4)sin(2t)]|(x，2)

=(7/4)sin4+cos4-(1/2)x？sin(2x)-(1/2)xcos(2x)+(2x)/4。