考研数学问题:n阶实对称矩阵的对角化

1.因为施密特正交化后的特征向量不一定是原矩阵(线性变换)的特征向量，即在正交基表示下不一定是对角的。在酉空间中，矩阵可正交对角化的充要条件是矩阵满足aa * = a * a。

(A*是A的* *轭换位)

2.

这个要从转型的角度来理解。左边的初等矩阵相乘是行的初等变换，然后乘以右边的初等矩阵。它是柱子“对称”的初等变换。因为矩阵是对称的，所以最后一定要对角化。例如，如果对称矩阵(1，1)位置处的元素不为0，则通过该行的初等变换，第三行的第一个元素将被消除为0，然后，第三列的第一个元素将在矩阵的转置所对应的这个变换的右乘之后被消除为0。

这是基本证明。可以参考吴泉水的复旦大学高等代数。