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研究生数学三门考试大纲

考试科目

微积分、线性代数、概率论和数理统计

结石

一、函数、极限和连续性

考试内容

函数的概念与表示，函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性，复合函数、反函数、分段函数、隐函数、基本初等函数的性质与图形。

初等函数简单应用中函数关系的建立

数列极限和函数极限的定义及其性质:函数的左极限和右极限；无穷小和无穷的概念及其关系；无穷小的性质和无穷小的四个运算极限:以及存在运算极限的两个判据(单调有界判据和夹点判据)。

两个重要的限制:，

函数连续性的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质

考试要求

1。理解函数的概念，掌握函数的表示法，建立简单应用题中的函数关系。

2。理解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

3。理解复合函数和分段函数的概念。理解反函数和隐函数的概念。

4。掌握基本初等函数的性质和图形，理解初等函数的概念。

5。理解数列极限和函数极限(包括左极限和右极限)的概念。

6。了解无穷小的概念和基本性质。掌握无穷小的比较方法。理解无穷的概念及其与无穷小的关系。

7。要理解极限的性质和存在的两个准则，掌握极限的四种算法，就要应用两个重要的极限。

8。理解函数连续(包括左连续和右连续)的概念，会区分函数不连续点的类型。

9。了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值定理、中值定理)及其简单应用。

二、一元函数微分学

考试内容

导数的概念，导数的几何意义以及经济意义函数的可导性与连续性的关系；平面曲线的切导数和法导数的四则运算:基本初等函数高阶导数的导数概念和运算法则；一阶微分形式的不变性微分中值定理；医院规则；极值函数的单调性；函数图的凹凸性；拐点；以及渐近线函数图的绘制函数的最大值和最小值。

考试要求

1。了解导数的概念以及可导性和连续性的关系，了解导数的几何意义和经济意义(包括边际和弹性的概念)。能求平面曲线的切线方程和法线方程。

2。掌握基本初等函数的求导公式、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握反函数和隐函数的求导方法和对数求导方法。

3。如果你理解了高阶导数的概念，你会发现简单函数的高阶导数。

4。理解了微分的概念，导数和微分的关系，一阶微分形式的不变性，你就找到了函数的微分。

5。了解罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，掌握这三个定理的简单应用。

6。会用洛必达定律求极限。

7。掌握判断函数单调性的方法，理解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值、最小值的求解和应用。

8。会用导数判断函数图形的凹凸性，会找到函数图形的拐点和渐近线。

9。描述简单函数的图形。

三、一元函数的积分学

考试内容

原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质

定积分中值定理上限的作用及其导数牛顿-莱布尼茨公式，不定积分和定积分的代换积分法以及分部积分的应用广义积分定积分。

考试要求

1。理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握计算不定积分的代换积分法和分部积分法。

2。了解定积分的概念和基本性质，了解定积分的中值定理，了解积分上限的作用并求其导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式，定积分的分部换元积分法。

3。会用定积分计算平面图形的面积，旋转体的体积，函数的平均值，会用定积分解决简单的经济应用问题。

4。理解广义积分的概念，计算广义积分。

四、多元函数微积分

考试内容

多元函数的概念、二元函数的几何意义、二元函数的极限和连续性的概念、多元函数在有界闭区域的偏导数的概念和计算、多元复合函数的求导方法和隐函数的求导方法、二阶偏导数全微分多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值的概念、基本性质和计算、无界区域的简单广义二重积分

考试要求

1。了解多元函数的概念和二元函数的几何意义。

2。了解二元函数极限和连续的概念，了解二元连续函数在有界闭区域的性质。

3。知道多元函数的偏导数和全微分的概念，就可以求出多元复合函数的一阶和二阶偏导数，多元隐函数的全微分和偏导数。

4。了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，求二元函数极值，利用拉格朗日乘数法求条件极值。能求简单多元函数的最大值和最小值，能解决一些简单的应用问题。

5。了解二重积分的概念和基本性质，掌握二重积分的计算方法(直角坐标和极坐标)。理解无界区域上的简单广义二重积分及其计算。

五、无穷级数

考试内容

常数项级数的敛散性常数项级数和的概念级数敛散性的基本性质和必要条件几何级数和P级数敛散性正项级数敛散性的判别任意项级数的绝对敛散性和条件敛散性交错级数和莱布尼茨定理幂级数及其收敛半径、收敛区间和收敛域

幂级数和函数在其收敛区间内的基本性质:简单幂级数和函数的求解:初等函数的幂级数展开。

考试要求

1。理解级数的敛散性和收敛级数的和的概念。

2。掌握级数的基本性质和级数收敛的必要条件。掌握几何级数和P级数敛散性的条件。掌握正项级数收敛的比较判别法和比值判别法，会用到根值判别法。

3。了解任意级数的绝对收敛和条件收敛的概念以及绝对收敛和收敛的关系。掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

4。会求幂级数的收敛半径，收敛区间，收敛域。

5。知道了幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性，逐项求导，逐项积分)，就可以求出简单幂级数在其收敛区间内的和函数，然后就可以求出一些有几项的级数的和。

6。掌握、、和的Maclaurin展开式，将利用它们把简单函数间接展开成幂级数。

六、常微分方程和差分方程

考试内容

常微分方程的基本概念变量可分离变量微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程和简单非齐次线性微分方程概念差分方程通解和特解一阶常系数线性微分方程的简单应用

考试要求

1。了解微分方程的概念及其阶、解、通解、初始条件、特解。

2。掌握微分方程、齐次微分方程、变量可分离的一阶线性微分方程的求解方法。

3。可以解二阶常系数齐次线性微分方程。

4。知道了线性微分方程解的性质和结构定理，就可以用多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积来求解二阶常系数非齐次线性微分方程。

5。理解差分和差分方程的概念及其通解和特解。

6。掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。

7。能运用微分方程和差分方程解决简单的经济应用问题。

线性代数

一.决定因素

考试内容

行列式的概念和基本性质行列式按行(列)展开定理

考试要求

1。理解行列式的概念，掌握行列式的性质。

2。会应用行列式的性质和行列式展开定理按行(列)计算行列式。

第二，矩阵

考试内容

矩阵的概念、矩阵的线性运算、矩阵的乘法、行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质、矩阵可逆的充要条件、矩阵的初等变换与初等矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算

考试要求

1.了解矩阵的概念，单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义和性质，对称矩阵、反对称矩阵、正交矩阵的定义和性质。

2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规则，了解方阵幂和方阵积的行列式性质。

3。了解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，矩阵可逆的充要条件，了解伴随矩阵的概念，利用伴随矩阵求逆矩阵。

4。了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，了解矩阵秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法。

5。了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的算法。

第三，矢量

考试内容

向量的概念向量的线性组合和向量组的线性表示与线性独立向量组的最大线性独立组线性相关。向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的正交归一化方法。

考试要求

1。理解向量的概念，掌握向量的加法和乘法运算。

2。理解向量的线性组合与线性表示、向量组的线性相关、线性无关等概念。掌握向量组线性相关和线性无关的相关性质和判别方法。

3。理解向量组的极大线性无关组的概念，会发现向量组的极大线性无关组和秩。

4。理解向量组等价的概念以及矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系。

5。了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交归一的施密特方法。

第四，线性方程组

考试内容

线性方程的克莱姆法则；线性方程解的存在和不存在的判定；齐次线性方程组的基本解系以及非齐次线性方程组的解与对应的齐次线性方程组的解之间的关系(导群)；非齐次线性方程组的通解。

考试要求

1。会用克莱姆法则解线性方程组。

2。掌握非齐次线性方程组有解和无解的判断方法。

3。了解齐次线性方程组基本解系的概念，掌握齐次线性方程组基本解系的解法和一般解法。

4。了解非齐次线性方程组解的结构和通解的概念。

5。掌握用初等行变换解线性方程组的方法。

动词 （verb的缩写）矩阵的特征值和特征向量

考试内容

矩阵的特征值和特征向量的概念，性质相似矩阵的概念和性质矩阵相似对角化的充要条件，相似对角矩阵和相似对角矩阵的实对称矩阵的特征值和特征向量。

考试要求

1.了解矩阵特征值和特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法。

2。了解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵相似于对角的充要条件，掌握将矩阵转化为相似对角矩阵的方法。

3。掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。

第六，二次型

考试内容

二次型及其矩阵表示合同变换和合同矩阵二次型的秩惯性定理。用正交变换和匹配法将二次型的标准形和标准形转化为标准二次型及其矩阵的正定性

考试要求

1。理解二次型的概念，用矩阵形式表示二次型，理解合同变换和合同矩阵的概念。

2。了解二次型的秩的概念，二次型的标准型和标准型的概念，以及惯性定理，会用正交变换和配点法将二次型化为标准型。

3。了解正定二次型和正定矩阵的概念，掌握正定矩阵的性质。

概率和数理统计

一.随机事件和概率

考试内容

随机事件与样本空间中事件的关系及完全事件组概率的运算；概念概率的基本性质；古典概率几何概率条件概率的基本公式；事件的独立重复测试。

考试要求

1。了解样本空间(基本事件空间)的概念，了解随机事件的概念，掌握事件的关系和运算。

2.理解概率和条件概率的概念，掌握概率的基本性质，计算古典概率和几何概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式。

3。理解事件独立性的概念，掌握具有事件独立性的概率计算；了解独立重复试验的概念，掌握相关事件概率的计算方法。

二、随机变量及其分布

考试内容

随机变量分布函数的概念和性质离散随机变量的概率分布连续随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布

考试要求

1。了解随机变量的概念和分布函数f(x)= p { x }(-∞< x的概念和性质

2。了解离散随机变量的概念及其概率分布，掌握0-1分布、二项分布、超几何分布、泊松分布及其应用。

3。如果掌握了泊松定理的结论和应用条件，我们会用泊松分布来近似表示二项分布。

4。理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布N(μ，)、指数分布及其应用，其中参数为λ(λ>；0)的指数分布的密度函数为f(x)=。

5。会求随机变量函数的分布。

第三，多维随机变量的分布

考试内容

多维随机变量及其分布函数的概率分布、边缘分布和条件分布二维连续随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度常见二维随机变量的独立性和无关性两个或两个以上随机变量的函数分布。

考试要求

1。了解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质。

2。了解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度。掌握两个随机变量的边缘分布和条件分布。

3。理解随机变量的独立性和无关性的概念，掌握随机变量独立性的条件；理解随机变量的无关性和独立性的关系。

4。掌握二维均匀分布和二维正态分布，了解参数的概率意义。

5。其函数的分布会根据两个随机变量的联合分布求，其简单函数的分布会根据几个独立随机变量的联合分布求。

四、随机变量的数值特征

考试内容

随机变量的数学期望(均值)、方差和标准差及其性质随机变量函数的数学期望切比雪夫不等式矩、协方差和相关系数及其性质

考试要求

1。理解随机变量的数字特征(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数)的概念，运用数字特征的基本性质，掌握常见分布的数字特征。

2。会求随机变量函数的数学期望。

3。掌握切比雪夫不等式。

大数定律和中心极限定理

考试内容

切比雪夫大数定律伯农利大数定律钦钦钦大数定律德莫维尔-拉普拉斯定理利维-林德伯格定理。

考试要求

1。了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变量的大数定律)。

2。了解de moivre-Laplacian中心极限定理(二项分布以正态分布为极限分布)和Levi-Lindbergh中心极限定理(独立同分布随机变量序列的中心极限定理)，利用相关定理近似计算相关事件的概率。

不及物动词数理统计的基本概念

考试内容

简单随机样本统计经验分布函数样本均值样本方差和样本矩分布t分布f分布分位数正态总体普通抽样分布

考试要求

1。理解总体、简单随机样本、统计学、样本均值、样本方差和样本矩的概念。其中样本方差定义为:

2。了解生成变量、t变量和f变量的典型模式；了解标准正态分布、分布、t分布、f分布的分位数，查相应的数值表。

3。掌握正态总体的抽样分布，样本均值种植、样本方差、样本矩、样本均值种植差、样本方差比的抽样分布。

4。为了理解经验分布函数的概念和性质，我们将根据样本值找到经验分布函数。

七。参数估计

考试内容

点估计的概念估计量和估计值矩估计法极大似然估计法估计准则区间估计概念单个正态总体均值的区间估计单个正态总体方差和标准差的区间估计两个正态总体均值差和方差比的区间估计。

考试要求

1。理解点估计、估计量和参数估计值的概念；了解无偏估计量、有效性(最小方差)和一致性(一致性)的概念，验证无偏估计量；将使用大数定律来证明估计量的一致性。

2。掌握矩估计法(一阶、二阶矩)和极大似然估计法。

3。掌握建立未知参数(双边和单边)置信区间的一般方法；掌握正态总体的均值、方差、标准差、矩的置信区间的求解及其相关的数值特征。

4.掌握两个正态总体的均值差和方差比的求解以及相关数值特征的置信区间。

八、假设检验

考试内容

显著性检验中的两类错误假设检验单个和两个正态总体均值和方差的假设检验

考试要求

1。了解“假设”的概念和基本类型；了解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤；会构造简单假设的显著性检验。

2。了解假设检验可能产生的两种错误，对于较简单的情况，计算两种错误发生的概率。

3。理解单个和两个正态总体的均值和方差的假设检验。

试卷结构

(一)题目和考试时间

试卷满分150，考试时间180分钟。

(2)含量比例

高等数学50%左右

线性代数约占25%

概率论与数理统计约占25%

(三)提问的比例

填空题和选择题40%左右

答题(包括证明题)60%左右

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