考研ⅱ型曲线积分

多元函数积分有两种对称:宇称对称和旋转对称。这些对称性适用于二重积分、三重积分、第一类曲线积分和第一类曲面积分。

我们以三重积分的对称性和第一类曲面积分为例。二重积分类似于第一类曲线积分。

1,宇称对称原理

当积分区域关于xOy平面对称时,可以考察Z的奇偶性。

当积分区域关于xOz平面对称时,可以考察y的奇偶性;

当积分区域关于yOz平面对称时,可以考察x的奇偶性;

比如这个问题的积分面积是一个球面。显然以上三项都满足了,所以可以看到任何变量的奇偶性。xy是关于X的奇函数,关于Y的奇函数,所以可以知道无论X还是Y,积分结果都是0;Xz和yz的处理方式相似。

2.旋转对称原理

当积分区域中x,y,z三个字母(或其中两个)旋转时,如果区域不变,则得出被积函数中的x,y,z也可以相应旋转。

比如这个问题的积分面积是一个球面。很明显,这个球体在X,Y,Z旋转后没有变化,所以得出结论

∫ f(x,y,z)dS =∫f(y,z,x)dS =∫f(z,x,y)dS

这也引出了一个问题:∫∫ x?dS=∫∫ y?dS=∫∫ z?DS这个结论。

再比如,如果在题目中的积分曲面上加一个条件:x?+y?+z?=R?,z≥0

此时我们可以看到,如果旋转x,y,z,这个曲面就会发生变化,所以上面的结论就不成立。

但是需要注意的是,由于x和y交换后曲面没有变化,∫∫ x?dS=∫∫ y?DS仍然有效。

最后提醒一下,以上结论对第二类曲线积分和第二类曲面积分都不成立。

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