考研数学中值定理的证明？

构造辅助函数，f' (x) = f (x) f'' (x)+(f' (x)) 2，f (x) = f (x) f' (x)

我们目的是证明F(x)在三个不同的点上取相同的值，

这样就可以用罗尔定理证明F’(x)有两个不同的零点。

即f (x) f'' (x)+(f' (x)) 2 = 0有两个零。

想想这个问题有什么特别之处。

我们从第一个问题知道f(η)=0，所以很容易认为设F(x)=0。

F(η)=f(η) f'(η)=0，

有没有一点0？

这个问题有个陷阱，就是f(0)=0，而不是

极限的存在一定是有限的，f(x)= f(x)/x x；有界×无穷小=0

(其实不难理解，f(x)一定是x的同阶无穷小，即使通过求f(x)=x来验证，得到f (0)也不会错

所以f (0) = f (0) f' (0) = 0。

前面两个F(x)=0都用了，f'(x)没用过。一般来说，题目会让f'(x)也得到0。

因为f(0)=f(η)，所以有f' (ξ) = 0，f (ξ) = 0，0

因为F(0)= F(ξ)=0，F'(a)=0，a∈(0，ξ)包含在(0，1)中。

因为F(ξ)= F(η)=0，F'(b)=0，b∈(ξ，η)包含在(0，1)中。

即f (x) f'' (x)+(f' (x)) 2 = 0有两个零A和B ∈ (0，1)。