什么是特征值？

意思？一个矩阵作用于一个向量，就相当于一个数作用于这个向量。这个数是特征值，这个向量是特征向量。

如果你的意思是说清楚特征值和特征向量的几何意义，你可以提问，我也可以给你说清楚，但是过程挺复杂的，如果你不需要我就先不说了，不过我估计就算你说清楚了，对你的学习也没什么帮助。说实话，就算要考研，特征值和特征向量也是靠背公式来解的。

几何意义很难解释，下面的解释以牺牲准确性为代价，侧重于概念。首先要明白一个矩阵的几何意义。以一个3×3的方阵为例。如果这个3×3方阵的三个向量是线性无关的(所有的行向量和列向量都可以)，就可以展开一个三维空间，以此类推。如果一个nxn矩阵中的N个向量是线性无关的，则可以扩展一个N空间。这里的n个向量叫做这个空间的基。比如在常用的直角坐标系中，可以认为两个向量(1，0)和(0，1)是拉伸的，所以长度为1的垂直向量形成的基称为标准正交基。当然，底座不一定要垂直，长度1，只要不平行就行。

然后明白矩阵乘法的意义。根据上面对矩阵的描述，矩阵乘法可以理解为从一个空间到另一个空间的过渡(投影)，过渡过程中的几何变化是旋转和拉伸。比如1*5，可以认为是在一维空间中把1拉伸到5。同时将x轴旋转0度。然后有三个重要特征:旋转轴、旋转角度和沿旋转轴拉伸的程度。只要有这三个量，就可以描述所有矩阵运算的几何变化过程。需要注意的是，旋转轴和底座不是一回事。

我们举一个现实的例子，把你所处的环境想象成一个三维空间(当然，你不必把你的生活想象成一个三维空间)。找一张A4纸，在上面随意画一条带箭头的线段，把这条线段当作一个矢量。接下来把这张纸立起来，让这个向量是三维空间的向量。然后，以A4纸的任意一条边为旋转轴，旋转纸张，这样就可以实现旋转操作了。既然A4纸不能拉伸，那你只能想象你的A4纸是有弹性的。你沿着你选择的旋转轴拉伸纸，你画的向量相应地变长。我来问你，此时的向量和开始时的向量在空间坐标上有什么变化？

我觉得你回答不了，因为空间旋转对坐标的影响太复杂了，有拉伸。但是这时候想象一个特殊的情况，就是旋转轴和矢量重合。也就是你画的向量正好在A4纸的边缘，与边缘重合。如果您再次沿着这条边旋转A4纸，无论旋转多少度，矢量的位置都不会改变。这个向量只有在你想拉伸的时候才会改变。

发现和顶公式的描述有什么关系:“一个矩阵作用于一个向量，相当于一个数作用于这个向量”。一个矩阵包含旋转和拉伸两种变化，作用于一个变量，只显示拉伸，没有旋转。这表明该向量与矩阵表示的旋转操作中的旋转轴一致。矩阵乘法的旋转轴恰恰是本征向量的几何意义，本征值是指在这个轴方向上的拉伸程度。