24研究生数学线性代数

(这里α和β用a和b代替，t代表换位)

首先我说ab是线性无关的，所以a和b一定不是零向量，也就是ab^T一定不是零矩阵。

A

f的秩就是ab T的秩，因为AB T = (B1A T，b2a^T，b3a^T)，显然后两项可以通过第一项化为0，即秩为1。(当然也可以写成(a1b^T，a2b^T，A3B T) T，结论也是一样的。)

B

既然A是对的，那么标准形式应该只有一个变量，即f = z ^ 2。

C

如果是正定的，特征值必须大于0，秩=矩阵阶=3。我们知道f的秩是1，特征值一定是0，所以一定不是正定的(除了正定，很明显是不正定的，只有一个特征值，其余都是0。若唯一非零特征值为正，则为半正定，为负则为半负定。唯一特征值不能为0，因为如果为0，则与开头提到的线性不一致)

D

设a = ab t，| ab t+ba t | = | a+a t |

那么f = x税，设g = x t (ba t) x = x t (ab t) tx = x ta tx，f和g都是函数表达式。很明显，f=g，所以f+g=2f，简单地乘以一个常数并不会改变矩阵的秩，所以f+g的秩=1，也就是A+A的秩T =1。很明显，A+A T不是满秩的，行列式一定是0。