唐家凤中值定理公开课中的一道思考题。

由下凸函数的性质:f(TX 1+(1-t)x2)≤TF(x 1)+(1-t)f(x2)，

通过数学归纳法证明f (K1x1+K2X2+...+KNXN)≤k 1F(x 1)+K2F(X2)+...+KNF (XN)。

当n=2时，从下凸函数的性质可以知道结论成立。

设n=p，即f (k1x1+k2x2+...+kpxp)≤k 1f(x 1)+k2f(x2)+...+kpf (xp)。

那么当n=p+1时，

f(k1x1+k2x2+...+kpxp+k(p+1)x(p+1))

≤f(k1x1+k2x2+...+kpxp)+f(k(p+1)x(p+1))

(第二步假设)≤ [k1f (x1)+k2f (x2)+...+KPF(XP)]+k(p+1)f(x(p+1))

=k1f(x1)+k2f(x2)+...+KPF(XP)+k(p+1)f(x(p+1))

即定理在n=p+1时也成立，所以定理对所有n都成立。

原始命题的证明