数学|纯粹的知识冒险
文章首次出现在《数学|一次纯粹的智力冒险》上。
每一门学科，当我们不把它看作是能力和统治力的工具，而是看作是我们几代人孜孜以求的知识的冒险历程时，也不过是这样一种和谐，从一个时期到另一个时期或多或少是巨大而丰富的；在不同的时代和世纪，对于轮流出现的不同主题，它向我们展示了微妙而微妙的对应，仿佛出自虚空。
上面这段话摘自法国著名数学家格罗滕迪克的自传《收获与播种》。我引用这段话，是因为我非常赞同他的观点——数学就是这样一门学科——它是“我孜孜以求的知识的冒险历程”，别的不说，就是“这样的和谐”。
虽然大家从小学就开始学习数学，离不开数学，但是说到数学，我觉得大部分人还是缺乏了解。作为基础数学系的学生，我想谈谈我对数学系的看法。
1，专业简介
首先是数学系的一些概况。数学系方向大致可以分为基础数学、应用数学和计算数学；其中，基础数学倾向于研究数学本身产生的问题或来自理论物理、理论计算机等相关学科的一些问题；应用数学和计算数学倾向于通过建模等手段将数学工具应用于计算机、工程、经济学等学科；但总的来说，数学系(尤其是好学校的数学系)的主要目的是培养数学研究型人才，所以课程设置和培养计划都是围绕这个目的。
以我本科为例，大部分是现代数学的基础课，专业课和一些物理、计算机的基础课。我觉得数学系在科研教学之外的就业等一些问题上可以说是欠缺甚至是脱节的；数学系虽然也有一些倾向于“应用”的课程，比如数理统计、数值分析等，但是在学习这些课程的时候，基本上都是为了分析和解决其他学科的理论问题。要把他们运用到实际工作中，转化为生产力，就业后还需要时间去培养，去适应“行业”的思维，所以很难说他们能给以后的就业带来什么优势。
所以我觉得如果你想去数学系学习，很重要的一点是要考虑:问问自己是不是真的对数学感兴趣。否则进入数学系后，面对很多难学的课程，非常容易感到枯燥和痛苦。
现在社会上很多人说“数学是基础，学好了数学再学其他的就容易有优势了”，以此来鼓励学生在本科学习数学，然后转到金融或者计算机领域。我认为这种说法是不负责的。
以“打好基础”为目的选择数学系，真的没必要——如上所述，首先，未必能得到某些人想象中的所谓“优势”，容易让自己苦不堪言；其实我本科同学就有这样的例子。所以我认为这样的行为是在浪费自己的时间，不值得鼓励。俗话说，好钢用在刀刃上，学生要选择自己真正感兴趣的专业。另一方面，如果大家都能优先选择自己喜欢的专业，合理竞争，我觉得对大家都更有利。
那么，如何确认自己是否对数学感兴趣呢？
我认为，首先，要努力理解数学，尤其是现代数学。数学系的现代数学从研究对象和研究方法上与中学的初等数学有很大不同，更具系统性。如果你对中学学的数学感兴趣，你可能对现代数学不感兴趣；反过来说，我不太喜欢初等数学，可能也不会被现代数学吸引。
好在现在发达的网络让我们每个人获取信息都相对方便。你不妨看看网易公开课或Coursera等网站上开放的数学课程(如数学分析、线性代数)，试着认真学习一门课程——我觉得在这个学习过程中，你可以积累一些关于数学的新知识，自己产生一些经验；“知乎、豆瓣”等网站也有一些关于数学的好问题，有心找的话可以找到很多。在你对自己有了一些基本的认识之后，你也可以和你认识的数学系的学长，或者高中数学老师，大学招生老师聊聊天，了解更多的信息。我觉得，如果经历了这一切，你还愿意学习数学，说明你对数学感兴趣，数学专业对你来说是个不错的选择。
2.毕业出路
至于数学系毕业后的出路，据我所知(身边的同学，学长学姐)，大致有四种:
1，继续读书，出国或者读研；
2、从事数学教育；
3、从事计算机或金融等相关领域工作；
4，从事与数学关系不大的工作，比如销售。
(注:从事计算机、金融相关领域的工作，需要对相应领域有一定的了解甚至专业知识。与长期培养的学生相比，有一定的劣势，需要找实习等经历来弥补；但是有些企业会相对偏爱数学系学生)
还是以我的本科学校为例，大部分同学选择出国深造或读研，继续学习数学或统计学、经济学、计算机、密码学等相关学科；其中，大部分选择出国的学生开始准备语言成绩等材料(托福、GRE等。)从大二开始，到大四开始申请(主要是美国，其次是欧洲)，而读研的都是研究生，大多从大三开始，联系导师；个别学生直接出于选择而工作。(不过鉴于笔者本科学校的特殊性，其他学校的情况可能会有所不同；对于比较注重就业的同学，笔者建议在填报志愿时，可以直接咨询所报考学校的招生老师，比如往年的就业情况，是否有长期合作的科研机构或企业等。这样可以获得学校的第一手资料，帮助你做出自己的判断。
3.数学学习本身
说了这么多基本情况，我觉得接下来可以说说数学本身了。数学系本科学习大致可以分为两个阶段:第一是学习一些基础课程；二是按专业学习。
基础课
基础课分为三类:分析、代数、几何。
分析包括数学分析、实分析和复分析，主要内容是微积分的建立和普及；
代数包括线性代数和抽象代数，主要研究各种代数结构；
几何包括微分几何和拓扑学，研究特定的几何对象(如空间、曲线和曲面等。)以及它们在某种变换下的性质。
专业课程
专业课根据专业方向不同。
如果是基础数学，可能会继续学习一些现代数学的基础，比如泛函分析、偏微分方程、代数拓扑、代数几何等等；
如果是应用数学或者计算数学，可能会学习一些有应用背景的学科，比如数理统计、数值方法、有限元等。，并开始挑选导师开始一定的研究工作。
总的来说，相比其他一些专业，数学系的生活可能会比较枯燥:交流的机会不多(当然这也可能和学校有关)，实习或者科研比较晚。但是数学系也有自己独特的乐趣——那就是数学本身。
与中学数学多为零散的现象和公式不同，现代数学强调自然性、普遍性和整体图景。
对于一个主体，要了解它的动机，也就是要“水到渠成”；
然后是结构、工具、技术和结果。
然后他们需要什么条件，他们的本质是什么，他们的思路和方法是否可以适用于其他地方，即是否“广泛通用”；
对于不同的学科，要研究它们的关系，找出它们的相对位置；
也要比较一下，找出异同，也就是“大局”如何。
正是这一特点使得现代数学强大而富有魅力。
数学家利用“现代”的思想和工具，解决了以前看起来极其困难的经典问题，比如费马大定理、庞加莱猜想等等。它为物理学家进一步揭开自然和宇宙的秘密创造了合适的工具，如黎曼几何到广义相对论，纤维束理论到规范场论；甚至在意想不到的地方，它也发挥了巨大的作用，如群表示理论在晶体结构研究中的应用，数论在密码学研究中的应用；这些成就都证明了现代数学的力量。
而联系和抽象则体现了现代数学的魅力:所谓联系就是不同领域的交叉，从不同的角度看同一件事，反过来，不同领域的交叉的研究又对原有领域产生影响。比如几何中有个概念叫黎曼曲面，简单来说就是局部看起来像复平面，且满足一定条件的曲面；由于它的局部性质，复分析可以应用于它；作为一个几何对象，可以用拓扑学和微分几何的方法来研究。甚至代数工具也可以应用于它。而且对黎曼曲面的研究反过来又促进了人们对分析、几何、代数的理解。抽象就是从现象中提取其精华，应用于其他地方。
比如在代数几何这门学科中，代数几何长期以来致力于研究一种叫做“代数簇”的几何对象；后来，以法国人格罗滕迪克为代表的一批数学家极大地发展了代数几何这门学科。他们推广了“代数簇”的概念，为任意交换环定义了一个叫做“概率型”的几何对象，并将其应用于数论，取得了巨大的成功。甚至，在各种方法或工具中，数学家试图找到它们之间更深层次的联系——站在它们背后的“哲学”——并将其抽象出来，以指导学科的发展。典型代表有“局部整体法”、“量化法”等。
每当我学到这样的东西，我都会被它们的美丽所震撼。引用我本科的一位老师的话，“下午，当你走在林荫小道上，或者夜深人静的时候，你在思考generate的时候，不经意间想到了那个定理/问题，惊叹于它巧妙的构思。这就是数学。”
学长说:
但同样不可否认的是，数学在发展的过程中，逐渐变得复杂和抽象，对普通人越来越不友好。为了掌握一些看似很酷的名词，一个学生往往需要几个月甚至几年的时间去学习和适应，不断积累知识和实例。我本科的时候花了相当长的时间学习抽象代数，代数几何等等来适应各种概念和符号。所以作为一个数学系的学生，你可能需要付出比你想象中多得多的努力，付出了很长时间却没有得到回报(或者暂时没有)也是很常见的。这个时候特别容易感到失落和沮丧，但正是在这个时候，你需要努力和坚持。
总之，可以说，数学专业的学生既幸福又痛苦。幸福在于能够追求一段时间的美和真。按照阿蒂亚爵士的说法，“把艺术和科学结合在一个伟大的事业中，试图理解宇宙”；并且有机会认识一些同样求真的老师朋友。他们能让你受益匪浅，和他们在一起的一段时间会让你终生难忘。本科期间，我和朋友一起开过几次讨论课。每当我回想起我为一个定义或定理进行激烈争论，并在讨论后达成一致意见的日子，我就感到非常怀旧。痛苦的是，你需要付出更多，无法期待世俗中的回报，有时可能得不到亲友的理解；孤独可能会经常困扰你。
但是，正如我在开头所表达的，数学是一门纯粹的学科。如果你真的对它感兴趣，愿意踏上“知识的冒险之旅”，不为别的，就是“这样的和谐”，那么我觉得这一切都是值得的。即使以后我因为各种原因没有继续走在数学的道路上，这样的经历也可以是一段美好的回忆。
从更远的角度来看，学习数学或其他专业只是生活的一部分；探索生命的意义是人生的大问题。最后，让我用一句古希腊奥林匹克格言来结束我的演讲:“不要要求胜利，只要求勇往直前的勇气。”
参考
(1)“仿佛来自虚空——亚历山大·格罗滕迪克的一生”
(2)M.F.Atiyah爵士的文章:
(3)黎曼几何导论。