泰勒公式证明考研
如果函数f(x)在包含x0的闭区间[a，b]中有一个n阶导数，在开区间(a，b)中有一个(n+1)阶导数，则对于闭区间[a，b]中的任意一点x，下面的等式成立:
其中表示f(x)的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn(x)是泰勒公式的余数，是(x-x0) n的高阶无穷小。
剩余物
泰勒公式的余数Rn(x)可以写成以下不同的形式:
1和阿砣的剩余项目:
这里只需要n阶导数。
2.Schlomilch-Roche的剩余项目:
其中θ∈(0，1)，p为任意正实数。(注意p=n+1和p=1分别对应拉格朗日余项和柯西余项)？[2]?
3、拉格朗日(Lagrange)余数:
其中θ∈(0，1)。
4、柯西(Cauchy)余数:
其中θ∈(0，1)。
5.积分的余数:
其实上面剩下的很多项都是等价的。
阿砣余数
下面是一些常用函数的泰勒公式:
扩展数据:
在实际应用中，泰勒公式需要截断，只取有限项。函数的有限项的泰勒级数称为泰勒展开式。泰勒公式的余数可以用来估计近似误差。
泰勒展开的重要性体现在以下五个方面:
1和幂级数的求导和积分可以逐项进行，所以求和函数比较容易。
2.解析函数可以推广到复平面上切片上定义的解析函数，复分析方法是可行的。
3.泰勒级数可以用来逼近函数值，估计误差。
4.证明不等式。
5.求待定公式的极限。
泰勒公式是利用函数在某一点的信息来描述其附近值的公式。如果函数足够光滑，在已知函数各阶导数值的情况下，泰勒公式可以用这些导数值作为系数，构造一个多项式来逼近该点邻域内的函数值。泰勒公式也给出了这个多项式与实际函数值的偏差。
泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712的一封信中首次描述了这个公式，尽管在1671的詹姆斯·格雷·高里中发现了它的一个特例。在1797之前，拉格朗日首先提出了带余项的泰勒定理。
参考资料:
泰勒公式_百度百科